Bonjour,
Je recopie en passant à la ligne pour une lecture moins pénible :

determiner tous les polynomes tq P(X²)=(X⁴-1)P(X).

en faisant 2deg(P) =4+deg(P) je trouve que deg(P) = 4 ,
puis je trouve que P est par donc les coeff des termes a puissance impaire sont nuls
d'ou P(X) = aX⁴+bX²+c = 0,
en remplacent dans la formule je trouve que -1,1 et 0 sont des racines
puis en derivant je trouve 2XP'(X²) = 4X³P(X) +(X⁴-1)P'(X)
d'ou j'obtiens que 0 et 1 sont des racines au moins double ,
puis P est degre 4 et possede 5 racine donc il s'agit du polynome nul ,

ceci est-il correct ?

(je n'ai pas eu le courage de corriger toutes les fautes (par au lieu de pair par exemple).
Fais "Aperçu" et relis toi avant de poster.

Sinon, ça semble tenir la route.
A partir de -1, 1 et 0 sont des racines, on peut aussi écrire que P(X) est de la forme
a(X-c)(X²-1)X .
Par parité c = 0.

bonjour
En effet ,à chaque fois que je trouve que la reponse est le polynôme nul je deviens un peu sceptique, je me dis qu'il y a peut être d'autres polynomes qui verifient la propriété, et que je me suis trompé.
merci pour la vérification de mon travail .

De rien.
C'est vrai que dans ce genre d'exercice, on s'attend à trouver autre chose.