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Niveau maths sup
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equation polynomiale

Posté par
Yosh2
23-02-21 à 20:49

bonsoir
pouvez vous m'aider pour l'enonce suivant : determiner tous les polynomes tq P(X2)=(X4-1)P(X).
en faisant 2deg(P)  =4+deg(P) je trouve que deg(P) = 4 , puis je trouve que P est par donc les coeff des termes a puissance impaire sont nuls d'ou P(X) = aX4+bX2+c = 0, en remplacent dans la formule  je trouve que -1,1 et 0 sont des racines puis en derivant je trouve 2XP'(X2) = 4X3P(X) +(X4-1)P'(X) d'ou j'obtiens que 0 et 1 sont des racines au moins double ,
puis P est degre 4 et possede 5 racine donc il s'agit du polynome nul ,ceci est-il correct ?
merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : equation polynomiale 23-02-21 à 20:56

Bonjour,
Je recopie en passant à la ligne pour une lecture moins pénible :

determiner tous les polynomes tq P(X2)=(X4-1)P(X).

en faisant 2deg(P) =4+deg(P) je trouve que deg(P) = 4 ,
puis je trouve que P est par donc les coeff des termes a puissance impaire sont nuls
d'ou P(X) = aX4+bX2+c = 0,
en remplacent dans la formule je trouve que -1,1 et 0 sont des racines
puis en derivant je trouve 2XP'(X2) = 4X3P(X) +(X4-1)P'(X)
d'ou j'obtiens que 0 et 1 sont des racines au moins double ,
puis P est degre 4 et possede 5 racine donc il s'agit du polynome nul ,

ceci est-il correct ?

(je n'ai pas eu le courage de corriger toutes les fautes (par au lieu de pair par exemple).
Fais "Aperçu" et relis toi avant de poster.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : equation polynomiale 24-02-21 à 08:53

Sinon, ça semble tenir la route.
A partir de -1, 1 et 0 sont des racines, on peut aussi écrire que P(X) est de la forme
a(X-c)(X2-1)X .
Par parité c = 0.

Posté par
Yosh2
re : equation polynomiale 24-02-21 à 13:47

bonjour
En effet ,à chaque fois que je trouve que la reponse est le polynôme nul je deviens un peu sceptique, je me dis qu'il y a peut être d'autres polynomes qui verifient la propriété, et que je me suis trompé.
merci pour la vérification de mon travail .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : equation polynomiale 24-02-21 à 19:06

De rien.
C'est vrai que dans ce genre d'exercice, on s'attend à trouver autre chose.



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