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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Equation réduite

Posté par
loulouetlilou
23-03-20 à 16:57

Bonjour,
Je dois donner l'équation d'une parabole de foyer F=(1,1) et de droite directrice d'équation x+y=0
Je trouve que l'équation vaut
x^2-2xy+y^2-4x-4y+4=0
Je suis a peu près sûre de cette équation.
Cependant je n'arrive pas a la réduire à la forme ax^2=y
J ai tenté un changement de variable par rotation d angle orienté de \frac{\pi}{4} ou de recréer les carrés "parfaits"mais à chaque fois à la fin ça n'abouti pas.
Ainsi pouvez vous me donner un petit coup de pouce s'il vous plait ? Merci d'avance

Posté par
lionel52
re : Equation réduite 23-03-20 à 17:11

Hello !
(x-y)² = 4(x+y-1)

Donc si tu poses comme changement de repère
X = x-y
Y = x+y-1
tu as

X²/4 = Y

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 23-03-20 à 17:20

Justement à un moment je me suis demandé si on avait le droit de définir un changement de repère en fonction de x et y pour une même coordonnée .

Cela correspond à quoi comme changement de repère concrètement ? (je connais que rotation, reflexion et translation)

Merci à vous en tout cas !

Posté par
XZ19
re : Equation réduite 23-03-20 à 17:21

Bonjour
Si tu fais le changement de repère
x=1/2+\dfrac{u}{\sqrt{2}}+\dfrac{v}{\sqrt{2}}
y=1/2-\dfrac{u}{\sqrt{2}}+\dfrac{v}{\sqrt{2}}

(qui correspond à une rotation d'angle \dfrac{\pi}{4}  et d'une translation  pour ramener
l'origine à mi-distance du foyer et de la directrice)  
on obtient l'équation réduite v=\dfrac{u^2}{2 \sqrt{2}}

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 23-03-20 à 17:51

Merci XZ19 pour ta réponse.

Mais je demandais, comment fait-on pour trouver le changement de repère ? On modifie le repère pour obtenir ce qui nous arrangerait ?

Si ça nous arrange on peut par exemple poser le changement de repère
X=x-y+2
Y=y+3x-8
Tout changement de repère est autorisé (tant qu'on ne divise pas par 0 ou ce genre de chose) ?

Posté par
XZ19
re : Equation réduite 23-03-20 à 18:41

Rebonjour
D'abord   je n'avais pas vu le message de Lionel52.  Si je ne me trompe pas, j'ai proposé une solution différente qui change le repère orthonormé direct en un repère orthonormé direct.

Et pour répondre à ta question, le changement de repère dépend de ce qu'on veut faire.  
Par exemple si tu veux calculer la longueur d'un morceau de la parabole,  il vaut mieux conserver les distances et ainsi faire le mien.
Mais pour d'autre calculs c'est pas forcément  nécessaire.  

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 23-03-20 à 21:45

Merci en tout cas !

J'ai un petit soucis à la question suivante.
Je n'arrive pas à déterminer l'équation de l'ellipse de foyer F=(-2,5) G=(1,6) et de distance d=4. On doit résoudre
\sqrt{(x+2)^2+(y-5)^2} + \sqrt{(x-1)^2+(y-6)^2} =4
Equivalent à
(x+2)^2+(y-5)^2+(x-1)^2+(y-6)^2 +2\sqrt{[(x+2)^2+(y-5)^2]×[(x-1)^2+(y-6)^2]}=16

Mais après je n'arrive pas à résoudre l'équation (non réduite), j ai trop de termes et je trouve pas l'astuce.

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 23-03-20 à 21:46

Et il ne doit pas y avoir de changement de variable

Posté par
Pirho
re : Equation réduite 24-03-20 à 08:56

Bonjour,

je ne suis pas "un spécialiste" en coniques mais si tu tapes sur le net "coniques en coordonnées homogènes"

et ensuite tu choisis "Les coniques en coordonnées homogènes",

tu pourras peut-être trouver des infos car je pense que le document est assez complet (92 pages)

Posté par
luzak
re : Equation réduite 24-03-20 à 09:19

Bonjour !
Que veux-tu dire par "distance" ? Est-ce le demi-axe focal ou la longueur du grand axe ?
Je pars du principe "longueur du grand axe", sinon il faut remplacer d par 2d dans ce que j'écris.

L'astuce pour ne pas avoir de radicaux consiste (avec tes notations) de calculer
(MF+MG-d)(MF+MG+d)(MF-MG-d)(MF-MG+d) (dans cette formule il n'y aura que des MF^2,\;MG^2) et montrer que la nullité équivaut à celle de MF+MG-d (tenir compte qu'il y a une comparaison simple, due au fait que tu veux une ellipse, entre d et FG).

Posté par
alb12
re : Equation réduite 24-03-20 à 09:27

salut, verification de tes calculs

Posté par
alb12
re : Equation réduite 24-03-20 à 10:35

oups petite erreur, si MF+MG=4 alors  

Posté par
lake
re : Equation réduite 24-03-20 à 11:52

Bonjour,

Pour la parabole, obtenir une équation réduite revient à déterminer une équation de la parabole de directrice d'équation y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} et de foyer F\left(0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)

  C'est quasi immédiat.

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 24-03-20 à 14:59

alb12 @ 24-03-2020 à 10:35

oups petite erreur, si MF+MG=4 alors  

Mais comment réussir le développement ? Car je ne "vois" pas la factorisation à faire..

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 24-03-20 à 15:05

luzak @ 24-03-2020 à 09:19

Bonjour !
Que veux-tu dire par "distance" ? Est-ce le demi-axe focal ou la longueur du grand axe ?
Je pars du principe "longueur du grand axe", sinon il faut remplacer d par 2d dans ce que j'écris.

L'astuce pour ne pas avoir de radicaux consiste (avec tes notations) de calculer
(MF+MG-d)(MF+MG+d)(MF-MG-d)(MF-MG+d) (dans cette formule il n'y aura que des MF^2,\;MG^2) et montrer que la nullité équivaut à celle de MF+MG-d (tenir compte qu'il y a une comparaison simple, due au fait que tu veux une ellipse, entre d et FG).

Je vais essayer comme ça merci ! (ici distance =dist(P,F)+dist(P,G))

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 24-03-20 à 15:09

luzak @ 24-03-2020 à 09:19

Bonjour !
Que veux-tu dire par "distance" ? Est-ce le demi-axe focal ou la longueur du grand axe ?
Je pars du principe "longueur du grand axe", sinon il faut remplacer d par 2d dans ce que j'écris.

L'astuce pour ne pas avoir de radicaux consiste (avec tes notations) de calculer
(MF+MG-d)(MF+MG+d)(MF-MG-d)(MF-MG+d) (dans cette formule il n'y aura que des MF^2,\;MG^2) et montrer que la nullité équivaut à celle de MF+MG-d (tenir compte qu'il y a une comparaison simple, due au fait que tu veux une ellipse, entre d et FG).

Il va y avoir aussi des MF^4 non ?

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 24-03-20 à 15:33

Je me retrouve face au même soucis en développant (MF+MG-d)(MF+MG+d)(MF-MG-d)(MF-MG+d) je me retrouve avec beaucoup de termes au carré elle des dizaines de termes à développer

Posté par
luzak
re : Equation réduite 24-03-20 à 15:44

Oui mais ils disparaissent si tu fais les calculs de manière symétrique !
Un peu d'intelligence calculatoire ne fait pas de mal :

((MF+MG)^2-d^2)((MF-MG)^2-d^2)
 \\                  =(MF^2+MG^2-d^2+2(MF)( MG))(MF^2+MG^2-d^2+2(MF)(MG)) 
 \\                   =(MF^2+MG^2-d^2)^2-4MF^2 MG^2

Puis tu remplaces MF^2 par (x-c)^2+y^2=x^2+y^2-2cx et MG^2=(x+c)^2+y^2=x^2+y^2+2cx etc...
Les termes gênants (x^2+y^2+c^)^2 disparaissent.

Mais surtout il faut bien montrer que le produit indiqué s'annule si et seulement si le terme MF+MG-d est nul.

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 24-03-20 à 15:52

Oui je viens de trouver à l'instant un résultat semblable !
on a
((MF+MG)^2-d^2)((MF-MG)^2-d^2)=
 \\ (MF^2-MG^2-d^2)^2-4MF^2d^2 = 0
 \\ <=> (MF^2-MG^2-d^2)^2=4MF^2 d^2
 \\ <=> MF^2+MG^2-d^2=2dMG 
 \\
Est ce correct ?

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 24-03-20 à 15:55

Oui je viens de trouver à l'instant un résultat semblable !
on a

 \\ ((MF+MG)^2-d^2)((MF-MG)^2-d^2)=
 \\ (MF^2-MG^2-d^2)^2-4MF^2d^2 = 0
 \\ \text{ssi}
 \\  (MF^2-MG^2-d^2)^2=4MF^2 d^2
 \\ \text{ssi}
 \\  MF^2+MG^2-d^2=2dMG 
 \\
Est ce correct ?

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 24-03-20 à 15:56

faute de frappe, c'est un "-" entre MF² et MG² à la dernière ligne

Posté par
alb12
re : Equation réduite 24-03-20 à 16:14

à la hussarde.
les propositions suivantes sont equivalentes (a et b positifs):


 \\ \sqrt{a}+\sqrt{b}=4
 \\


 \\ 2\sqrt{ab}=16-a-b
 \\


 \\ 4ab=(16-a-b)^2$ et $a+b\leqslant16
 \\

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 24-03-20 à 16:55

luzak @ 24-03-2020 à 15:44

Oui mais ils disparaissent si tu fais les calculs de manière symétrique !
Un peu d'intelligence calculatoire ne fait pas de mal :

((MF+MG)^2-d^2)((MF-MG)^2-d^2)
 \\                  =(MF^2+MG^2-d^2+2(MF)( MG))(MF^2+MG^2-d^2+2(MF)(MG)) 
 \\                   =(MF^2+MG^2-d^2)^2-4MF^2 MG^2

Puis tu remplaces MF^2 par (x-c)^2+y^2=x^2+y^2-2cx et MG^2=(x+c)^2+y^2=x^2+y^2+2cx etc...
Les termes gênants (x^2+y^2+c^)^2 disparaissent.

Mais surtout il faut bien montrer que le produit indiqué s'annule si et seulement si le terme MF+MG-d est nul.

ici je n'ai pas d'ordonné nulle ni d'abcisse identique..

Posté par
loulouetlilou
re : Equation réduite 24-03-20 à 16:55

*abcisse symétrique

Posté par
luzak
re : Equation réduite 25-03-20 à 08:04

Effectivement j'ai un peu zappé que tu n'avais  pas les axes qu'il fallait !
...................................
Pour L'équivalence des équations, remarquer que FG<d (ellipse) et, par inégalité triangulaire :
|MF-MG|\leq FG<d donc (MF+MG+d)(MF-MG-d)(MF-MG+d)\neq0

...................................................
Puisque tes axes ne sont pas ceux de l'ellipse il faut retarder un peu le passage aux coordonnées et "simuler" le centrage.
Soit K le milieu de FG : \vec{MF}=\vec{MK}+\vec{KF},\;\vec{MG}=\vec{MK}-\vec{KF} donc
MF^2+MG^2=2(MK^2+KF^2) donc (MF^2+MG^2-d^2)^2=4(MK^2+KF^2)^2+d^4-8d^2(MK^2+KF^2) et
MF^2MG^2=(MK^2+KF^2+2\vec{MK}\cdot\vec{KF})(MK^2+KF^2-2\vec{MK}\cdot\vec{KF})
=(MF^2+MG^2)^2-4(\vec{MK}\cdot\vec{KF})^2

La formule se réduit alors à une relation de la forme \alpha\,MK^2+\beta(\vec{MK}\cdot\vec{KF})^2+\gamma.
C'est maintenant seulement qu'on utilise les coordonnées de M,K,\vec{FG} ce qui donne bien un poynôme de degré 2 (sans terme de degré 1) sur les variables (x-x_K),\,(y-y_k).
Pour ma part je m'arrêterais là car on voit bien que K est centre de symétrie. Si impératif, pas difficile alors de développer le polynôme complètement mais des termes du premier degré en x,y vont apparaître.

Posté par
lake
re : Equation réduite 25-03-20 à 11:45

Bonjour,

  Autre solution:

   MF^2=x^2+y^2+4x-10y+29    (1)

   MG^2=x^2+y^2-2x-12y+37   (2)

  On calcule:

    MF^2-MG^2=4(MF-MG)=6x+2y-8

  On en déduit:

     \begin{cases}MF=2+\dfrac{3x+y-4}{4}\\MG=2-\dfrac{3x+y-4}{4}\end{cases}

  qu'on reporte soit dans (1) pour la première soit dans (2) pour la seconde pour obtenir:

   7x^2-6xy+15y^2+40x-168y+448=0

Posté par
alb12
re : Equation réduite 25-03-20 à 13:26

Mat !



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