Voici ce que j'ai mis   :
Question n°1:
On nomme  P le périmètre de ce triangle, A l'aire de ce triangle et l, L et h la largeur, longueur et hypothénuse de ce triangle.
P = 30 m et A = 30 m²
Dans un triangle rectangle on a aussi :
P = l + L + h et A = (l x L)/2
On remplace par les chiffres :
l + L + h = 30
(l x L)/2 = 30 <=> l x L = 60  ⟺ l = 60/L
Le tiangle est rectangle, d'après le théorème de pythagore :
l² + L² = h² ⟺ h² = L² + (60/L)²  ⟺ h = √(L² + (60/L)²)
Si le périmètre et l'aire  du triangle est 30 ca revient a dire :
60/L + L + √(L² + (60/L)²) = 30
On prend x  = L
x + 60/x +  √[(60/x)² + x²] = 30  ⟺ x + 60/x +  √[(3600/x²) + x²] = 30  ⟺
√[(3600/x²) + x²] = 30 - ( x + 60/x)  ⟺ √[(3600/x²) + x²]² = [30 - ( x + 60/x)]²  ⟺
(3600/x²) + x² = 30² - 2 x 30 x (x+60/x) + (x+60/x)²⟺
(3600/x²) + x² = 900 - 60 x (x+60/x) + x² + 2 x  x x  60/x + 3600/x ² ⟺
(3600/x²) + x² = 900 - 60 x (x+60/x) + x² + 120 + 3600/x ²⟺
(3600/x²) + x² = 1020 - 60 x (x+60/x) + x² + 3600/x ²⟺  0 = 1020 - 60 x (x+60/x)  ⟺
60 x (x+60/x) = 1020 ⟺  x+60/x = 17  ⟺ x² +60 = 17x ⟺ x² -17x +60 =  0
x² - 17 x + 60 est un trinome du second degrés
Δ = 289 - 4 x 1 x 60 = 49 = 7²
Δ > 0 donc le trinome x² - 17 x + 60 a deux solution qui sont :  
= 12 et = 5
Les deux solution du trinome sont 5  et 17 donc  L = 5 ou 12
D'où, on a : l = 60/5 = 12
D'où, on a : h² = 169  ⟺ h = 13
Donc, le premier côté du triangle mesure 5, le deuxième 12 et l'hypoténuse 13.                                                      

Question n°2:
On prend A pour l'aire et P pour le périmètre d'un rectangle, x pour la longueur et y pour la largeur :
A = xy
P = (x+y) x 2
xy = 2x + 2y ⟺ xy - 2x + 2y + 4 = 4 ⟺ (x - 2) (y - 2) = 4
Le chiffre 4 est le produit de 3 facteur : 2x2 ; 1x4 ; 4x1 donc on a trois solution :
    •  x - 2 = 2  ⟺ x = 4    et y - 2 = 2   ⟺ y = 4  
    • x - 2 = 1  ⟺ x = 3    et y - 2 = 4   ⟺ y = 6
    • x - 2 = 4  ⟺ x = 6   et y - 2 = 1   ⟺ y = 3
Donc il existe deux triangle dont l'aire est égale au périmètre :
Un rectangle avec 4 pour largeur et longueur
Un rectangle avec  3 pour largeur et 6 longueur
Cependant on sait que la largeur ne pas etre supérieur a la longueur car la longueur est toujour le plus grand coté donc  si la largeur devient plus grand on l'appelle automatique longueur.
Est ce que c'est juste est surtout si il y a des phrases qui vont pas ou des calcul?

bonjour,

je lis tout ce que tu as écrit, et je reviens.

Q1 : tu as trouvé les bonnes réponses, c'est très bien.
une remarque :   largeur l  et longueur  L  sont plutôt utilisés pour des rectangles, pas pour des triangles, et h est plutôt utilisé pour une hauteur, pas pour l'hypoténuse.
si tu nommais tes inconnues   a  et b pour les cotés de l'angle droit et c pour l'hypoténuse, ce serait plus facile à lire.

Dans ton calcul, tu notes une racine carrée : ici, tu t'en sors très bien, mais parfois ce n'est pas pratique.
au lieu de passer par h, on choisis alors de  rester avec h² , et on retombe sur la même équation au final x² -17x +60 =  0
x pouvant etre soit  le petit coté, soit le grand coté.
toi tu as posé x =  L...   quand x=5, alors  x = l  et  L= 12 ...

NB : tu écris Les deux solution du trinome sont 5  et 17 donc  L = 5 ou 12...   sans doute faute de frappe.

Q2 : je ne comprends pas ce que tu as fait..
est ce que la question précise que les dimensions du rectangle sont des entiers ?

Pour la Q2 la question n'a pas plus de précision donc je suis partis sur les nombre entier mais j'ai oublié de mettre k la valeur commune car je ne sais pas a quoi ca sert

Pour la question n°1 c'est une faute de frappe a la fin, merci je vais prendre en compte les amélioration a faire aussi .

pour la q2,

si on ne cherche que les longueurs entiéres, ce que tu as fait est  très bien.

(Si non, à partir de  xy - 2x = 2y,   j'ai écrit  l'équation  1/x   + 1/y  = 1/2

qui a d'autres solutions non entières (par exemple  x=5  et  y=10/3 ) )

bonne soirée