Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Reprise d'études-Ter
Partager :

Équation trigo

Posté par Profil Ramanujan 02-01-19 à 19:46

Bonsoir,

Je ne comprends pas cet exercice dans mon livre :

1/ Montrer que \forall x \in \R l'équation \sin(\theta)=x possède au moins une solution si et seulement si x \in [-1,1]

2/ Montrer que \forall x \in [-1,1] : \sin(\theta)=x possède une seule solution sur [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]

Il est indiqué qu'il faut utiliser le TVI mais je vois pas trop comment l'appliquer ici.

La fonction f : \theta \rightarrow \sin(\theta) est continue sur \R et après je vois pas.

Posté par
gerreba
re : Équation trigo 02-01-19 à 19:54

Bonsoir,
Pour tout réel x : sin x est compris entre ?

Posté par
malou Webmaster
re : Équation trigo 02-01-19 à 19:57

pour 2) fonction continue strictement croissante sur...
bijection de ...vers....

Posté par Profil Ramanujanre : Équation trigo 02-01-19 à 21:38

1/ -1 \leq \sin(\theta) \leq 1

Mais je vois pas comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires

2/ En utilisant vos indications Malou qui m'ont bien aidé

La fonction f : [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] \rightarrow [-1,1] avec  f(\theta)= \sin(\theta) est  dérivable sur [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}].

\forall \theta \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] : f'(\theta) = \cos(\theta) \geq 0

La dérivée s'annule qu'en un nombre fini de points (2 points) donc f est strictement monotone sur [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]

f réalise donc une bijection de [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] sur f([-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}])=[-1,1]

Par définition d'une bijection :

\forall x \in [-1,1] , \exists ! \theta \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] : f(\theta)=x

Posté par Profil Ramanujanre : Équation trigo 03-01-19 à 00:39

La question 1 il faut raisonner par double implication ?

Posté par
malou Webmaster
re : Équation trigo 03-01-19 à 08:59

ben tu as un "ssi" qui me paraît assez évident...mais bon....ça doit être trop simple !

Posté par Profil Ramanujanre : Équation trigo 03-01-19 à 21:56

Bon je n'y arrive pas Je ne vois pas comment le démontrer.

Posté par Profil RamanujanImage d'une fonction 04-01-19 à 02:19

Bonsoir,

Je me souviens plus de comment montrer que pour : f : \R \rightarrow \R f : x \rightarrow \sin(x) on a : Im(f)=[-1,1]

Je pars de : Im(f)= \{\sin(x) , x \in \R \}

Mais après je vois pas.

*** message déplacé ***

Posté par
Zormuche
re : Image d'une fonction 04-01-19 à 04:03

bonjour

On sait que  -1\le \sin{(x)} \le 1   donc  ?

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Image d'une fonction 04-01-19 à 12:09

Ainsi : -1 \leq f(x) \leq 1

Mais qui dit que toutes les valeurs entre -1 et 1 sont atteintes ?

*** message déplacé ***

Posté par
matheuxmatou
re : Image d'une fonction 04-01-19 à 12:11

bonjour

tu plaisantes là j'espère ?

tu ne connais pas quelques valeurs remarquables qui suffisent à le prouver ????

*** message déplacé ***

Posté par
Zormuche
re : Image d'une fonction 04-01-19 à 12:58

En fait Ramanujan je voulais dire que cela implique Im(f) inclus dans [-1;1]
Il reste à montrer l'inclusion inverse

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Équation trigo 04-01-19 à 14:04

moi ce qui m'ennuie avec tes questions, c'est qu'on ne connaît jamais les prérequis...

Posté par
lafol Moderateur
re : Image d'une fonction 04-01-19 à 14:10

bonjour

Ramanujan @ 04-01-2019 à 12:09

Ainsi : -1 \leq f(x) \leq 1

Mais qui dit que toutes les valeurs entre -1 et 1 sont atteintes ?


un certain TVI ....

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Équation trigo 04-01-19 à 14:17

oui, ben voilà....j'allais en faire autant (déplacer)
plein de questions ponctuelles qui tournent autour d'un même sujet
c'est ingérable ces questions ....

Posté par Profil Ramanujanre : Équation trigo 04-01-19 à 16:40

J'ai toujours pas compris cet exo, tout le monde dit que c'est ultra évident mais je sais pas le résoudre.

Montrer que \forall x \in \R l'équation \sin(\theta)=x possède au moins une solution si et seulement si x \in [-1,1]

Posté par
lafol Moderateur
re : Équation trigo 04-01-19 à 17:35

C'est pas comme si on t'avait dit quel théorème utiliser, pourtant....

Posté par Profil Ramanujanre : Équation trigo 04-01-19 à 18:09

\forall \theta \in \R : -1 \leq \sin(\theta) \leq 1

Soit : \sin(-\dfrac{\pi}{2}) \leq x \leq \sin(\dfrac{\pi}{2})

D'après le TVI, par continuité de la fonction sin sur  \R, pour tout réel x \in [-1,1]  il existe un  réel \theta \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}}] tel que :

\sin(\theta)=x

Mais j'ai fait la réciproque là non ?

Il faut montrer l'autre implication : si \forall x \in \R \sin(\theta)=x admet une solution alors forcément x \in [-1,1]

Et là je vois pas trop comment faire

Posté par Profil Ramanujanre : Équation trigo 04-01-19 à 18:57

Pour la réciproque faut-il pas faire la contraposée ?

Si x \notin [-1,1] alors il faut montrer que \sin(\theta)=x n'admet pas de solution. ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Équation trigo 04-01-19 à 21:28

Ramanujan @ 04-01-2019 à 18:09



Il faut montrer l'autre implication : si \forall x \in \R \sin(\theta)=x admet une solution alors forcément x \in [-1,1]

Et là je vois pas trop comment faire


t'es sérieux, là ? alors que tu as écrit juste quelques lignes au dessus :
Ramanujan @ 04-01-2019 à 18:09

\forall \theta \in \R : -1 \leq \sin(\theta) \leq 1


tu fais vraiment un Alzheimer juvénile ? je croyais plaisanter, l'autre jour, mais il semblerait que ta mémoire instantanée n'excède pas trois lignes de caractères ...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation trigo 04-01-19 à 23:20

Pour la réciproque : \sin(-\frac{\pi} {2})=-1 \text{ et } \sin(\frac{\pi} {2})=1.
La fonction sinus est continue et prend donc toutes les valeurs entre-1 et 1, d'après le TVI.
Si x \in [-1;1]  il existe alors \theta tel que sin(\theta) =x

Et l'implication directe c'est tout bête :

Il existe \theta \in \R tel que \sin(\theta)=x

Or : -1 \leq \sin(\theta) \leq 1 mais \sin(\theta)=x

Enfin : -1 \leq x \leq 1

Après je sais pas si on aurait pu raisonner par équivalence

Posté par
lafol Moderateur
re : Équation trigo 04-01-19 à 23:40

tu aurais pu faire une disjonction de cas ...

Posté par Profil Ramanujanre : Équation trigo 04-01-19 à 23:53

Une disjonction de cas c'est-à-dire ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Équation trigo 04-01-19 à 23:58

premier cas, x dans [-1;1]
deuxième cas, x hors de [-1;1]
conclusion

Posté par Profil Ramanujanre : Équation trigo 05-01-19 à 00:12

Ah d'accord pour x en dehors de [-1,1] il n'y a pas d'antécédent pour la fonction sinus donc c'est assez évident.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !