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Équation trigo.

Posté par
matheux14 04-04-21 à 21:44

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Résoudre l'équation \cos(4x)=\sin x avec 0 < x < \dfrac{\pi}{2}

Réponse

\sin x =\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)

\Rightarrow \cos(4x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)

==> 4x=\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+2k\pi ou 4x=-\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+2k\pi

==> x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2}{5}k\pi ou x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2}{3}k\pi

Donc 0 < \dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2}{5}k\pi < \dfrac{\pi}{2} ou

0 < -\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2}{3}k\pi < \dfrac{\pi}{2}

==>  -\dfrac{1}{5}< k < 1 ou

\dfrac{1}{4} < k < 1

==> k= 0 et pour \dfrac{1}{4} < k < 1 , il n'y a pas d'entier k entre 1/4 et 1 tel que 1/4 < k < 1.

Est ce que je dois laisser tomber le cas 4x=-\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+2k\pi ?

Posté par
phyelec78re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:00

Bonjour,

Tu as bien la bonne démarche.
cos(a)=cos(b) veut dire dire que : a=b+2k\pi ou a=-b+2k\pi  avec k \in N.

Tu n'as pas besoin de trouver la valeur de k, tu dois juste dire que k \in N.

malou edit > non, k doit être dans  Z

Posté par
LeHiboure : Équation trigo. 04-04-21 à 22:16

Bonsoir,

Citation :
Est ce que je dois laisser tomber le cas ...

Non, il faut le traiter aussi, il conduit à une autre famille de solutions, tu dois vérifier s'il y en a dans l'intervalle imposé.

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:17

k\in \N donc je laisse le cas 4x=-\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+2k\pi \\ ?

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:18

Citation :
Non, il faut le traiter aussi, il conduit à une autre famille de solutions, tu dois vérifier s'il y en a dans l'intervalle imposé.


Je ne comprends pas..

Posté par
phyelec78re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:22

non vous gardez les valeurs que vous avez trouvez pour x et que vous donnez dans votre prenez post , et vous dites k \in N, soit  :


x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2}{5}k\pi ou x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2}{3}k\pi avec k \in N

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:26

Oui mais on veut x dans [0 ; π/2].

Est ce que c'est valable en faisant ainsi ?

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:27

Pourquoi pas k de Z ?

Posté par
phyelec78re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:30

le hibou à raison, une fois la solution générale trouvé tu dois vérifier s'il y en a dans l'intervalle imposé avec k qui appartient à N donc un nombre entier.

c'est le calcul que tu as bien commencé,
=>  -\dfrac{1}{5}\le k \le 1 ou   \dfrac{1}{4} \le k \le 1

deux valeurs fonctionnent k=0 et k=1

Posté par
phyelec78re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:34


oups! tu as raison k est entier relatif (donc \in Z.

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:40

Ah oui , je crois que j'ai compris.

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:53

Citation :
c'est le calcul que tu as bien commencé,
=>  -\dfrac{1}{5}\le k \le 1  ou   \dfrac{1}{4} \le k \le 1


Les inégalités sont strictes..

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 22:57

Citation :
le hibou à raison, une fois la solution générale trouvé tu dois vérifier s'il y en a dans l'intervalle imposé avec k qui appartient à N donc un nombre entier.


Je m'arrête à quelle valeur de k ?

Posté par
LeHiboure : Équation trigo. 04-04-21 à 23:17

Ta solution générale pour le 2ème cas est :
x = -/6 + (2/3)k
Et tu dois avoir 0 < x < /2
Tu dois tester les valeurs possibles de k
Pour k 0 ça ne fonctionne pas, tu es à gauche de l'intervalle.
Teste à partir de k = 1, note les valeurs qui fonctionnent, et arrête-toi à la première valeur pour laquelle tu sors de l'intervalle par la droite.

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 23:28

Dans ce cas je m'arrête à k = 2 ==> x=7π/6 précédé de k=1 ==> x=π/2

Posté par
LeHiboure : Équation trigo. 04-04-21 à 23:36

Même 1 ne fonctionne pars car ta contrainte est x < /2 et avec 1 tu as l'égalité, donc cette seconde famille de solutions est vide, mais il fallait tout de même l'étudier

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 23:52

D'accord.

Donc S = { π/10 }

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 04-04-21 à 23:53

Merci

Posté par
matheux14re : Équation trigo. 05-04-21 à 00:09

Et pour la rédaction :

-π/6 ≤ 0 ==> k2 > 0

Or si k2=1 , x=π/2 \notin ]0 ; π/2[ ==> -π/6 +(2/3)k2π n'est pas valable sur ]0 ; π/2[

Posté par
LeHiboure : Équation trigo. 05-04-21 à 09:15

Citation :
n'est pas valable sur

Dis plutôt "n'a pas de solution dans".

Posté par
malou Webmasterre : Équation trigo. 05-04-21 à 09:21

Bonjour à tous
matheux14, exemples et rédaction type ici Résoudre des équations trigonométriques


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