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équation trigonométrique
bonjour , je suis étudiant, je fais un graduat en construction en Belgique et je reste bloqué sur une équation que ma prof de math ma demandé pourriez vous m'aider ? résoudre dans R l'équation trigonometrique suivante tanx+tan3x=2sin2x et rapporter les solutions comprises entre 0et2pi sur le cercle trigonometrique.
Salut,
Mettre au même dénominateur
Donc En appliquant certaines formules trigonométriques
Donc
Comme
on aura
donc
finalement
soit
...
Si j'ai fait une erreur, alors oubli ça sinon je te laisse continuer, à moins que tu trouves une solution plus courte
tg(x) + tg(3x) = 2.sin(2x)
valeurs interdites x = Pi/2 + k.Pi et x = Pi/6 + k.Pi/3
sin(x)/cos(x) + sin(3x)/cos(3x) = 2.sin(2x)
(sin(x).cos(3x)+sin(3x).cos(x)) = 2.sin(2x) * cos(x).cos(3x)
sin(4x) = 2.sin(2x) * cos(x).cos(3x)
2.sin(2x).cos(2x) = 2.sin(2x) * cos(x).cos(3x)
---> sin(2x) = 0 ---> 2x = k.Pi ---> x = k.Pi/2
Mais comme x = Pi/2 + k.Pi est interdit, alors on ne doit garder comme solutions que k pair --> x = k'.Pi (avec k' dans Z).
Si sin(2x) est différent de 0, alors :
cos(2x) = cos(x).cos(3x)
cos(2x) = (1/2).[cos(4x)+cos(2x)]
cos(2x) = cos(4x)
4x = +/- 2x + 2k.Pi
x = k.Pi (solutions déjà trouvées)
ou
6x = 2k.Pi --> x = k.Pi/3 (qui inclut les solutions trouvées avant)
S : {k.Pi/3} avec k dans Z
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Sauf distraction.
Pourquoi le +/-
Parce que cos(a) = cos(-a) (quelle que soit la valeur de a)
Et donc si on a :
cos(a) = cos(b)
on a aussi
cos(-a) = cos(b)
Et donc cos(a) = cos(b) ----> a = +/- b + 2k.Pi
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Salut mc2,
Donc si on ne traite pas le - on écrit d'une façon générale
a = b + k.Pi
Ah non, ce n'est pas la même chose.
Exemple concret:
On cherche les solutions de cos(3x) = cos(2x)
3x = +/- 2x + 2k.Pi
a)
3x = 2x + 2k.Pi
x = 2k.Pi (1)
b)
3x = -2x + 2k.Pi
5x = 2k.Pi
x = 2k.Pi/5 (2)
Les solutions de (2) recouvrent celles de (1) (si k est multiple de 5 dans (2))
Et donc :
Les solutions de cos(3x) = cos(2x) sont S:{2k.Pi/5} avec k dans Z
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Alors que d'après toi on aurait :
cos(3x) = cos(2x)
3x = 2x + k.Pi
x = k.Pi
Tes solutions seraient S : {k.Pi } avec k dans Z
Certaines de ces solutions sont fausses (exemple x = Pi)
Certaines des solutions sont manqauntes (exemple x = 2Pi/5)
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A partir de cos(a) = cos(b), il y a 2 famille de solutions qui sont :
a = b + 2k.Pi
et
a = -b + 2k.Pi
et ce n'est absolument pas équivalent à a = b + k.Pi
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OK ?
Sauf distraction.
Tant qu'on y est, je t'indique ce qu'il faut faire dans les cas de sin(a) = sin(b)
Il y a aussi 2 familles de solutions qui sont ici :
a = b + 2k.Pi
a = (Pi - b) + 2k.Pi
avec k dans Z.
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