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Niveau seconde
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Equations

Posté par
sadarou
17-07-19 à 13:44

Bonjour
Je réfléchissais sur un exercice dont voici l'énoncé
Pour résoudre dans R l'equation x\sqrt{x}+x²=0
Un élève écrit qu'elle équivaut à x\sqrt{x}=-x²
, puis il élève les deux membres au carré et obtient x³=x^4
D'ou il tire x^3(1-x)=0
Et en conclut que l'ensemble des solutions est (0,1)
Quelle faute de raisonnement l'elev a t'il faite ?

Pour répondre à la question , je me suis dit que l'élève devrait penser à lever la contrainte sur l'inconnue c'est à dire que x\leq 0
Mais je vois que ça suffit pas par ce qu'avec le raisonnement de l'élève , on aura bien 0 et 1 comme alors que quand on vérifie la solution 1 on ne peut pas trouver 0
Aider moi à voir là où l'élève a péché

Posté par
LeMacaron
re : Equations 17-07-19 à 14:12

Bonjour, en faisant abstraction du domaine de définition au départ, l'élève n'utilise pas l'équivalence :

\sqrt a = b \Longleftrightarrow \begin{cases} a=b^2 \\ b\ge 0 \end{cases}

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equations 17-07-19 à 14:31

Autrement dit, quand on élève au carré on introduit des solutions parasites.

Posté par
lafol Moderateur
re : Equations 17-07-19 à 22:09

Bonjour
si a = b, alors forcément a²=b²
en revanche, on peut avoir a² = b² sans avoir a=b (lorsque a = -b, en fait)

l'élève a donc oublié de faire une vérification : si x est solution alors x vaut 0 ou 1
mais 0 et 1 ne sont pas forcément solutions, il faut vérifier.

Il aurait pu aussi à partir de x\sqrt{x}=-x² remarquer que si x est positif strictement alors ce n'est pas possible, car ce qui est à droite sera négatif mais ce qui est à gauche non. Cependant si x est strictement négatif, c'est la racine qui n'est pas définie. Par conséquent cette équation n'a de sens que si x = 0, qui est justement solution "évidente"

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equations 19-07-19 à 09:15

Bonjour,
Pour résoudre l'équation sans tenir compte de la méthode de l'élève,
il me semble que poser X = x évite de se compliquer la vie.

Commencer par écrire x0 .

En posant X = x , avec x 0 , ona aussi X 0 .
On commence donc par résoudre X3+X4 = 0 dans [0,+[ .
X3+X4 = 0 X3(X+1) = 0
X+1 est non nul. D'où
X3+X4 = 0 X3 = 0 X = 0 .
x = 0 x = 0 .

Posté par
alb12
re : Equations 19-07-19 à 09:36

salut,
la fonction f:x->x*sqrt(x)+x^2 est strictement croissante sur R+ et f(0)=0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equations 19-07-19 à 09:43

Oui

Posté par
carpediem
re : Equations 19-07-19 à 14:22

puisque ça diverge j'y vais de ma petite rengaine ...

pour résoudre une équation qui n'et pas du premier degré on met tout dans un membre et on factorise !!!

x\sqrt x + x^2 = 0 \iff x \sqrt x (1 + \sqrt x) = 0

le troisième facteur est supérieur à 1 (par définition de la racine carrée) donc ne peut s'annuler ...

et on retourne au collège pour voir que 0 est racine double pour embêter/provoquer mes collègues   de cette équation puisque 0 est racine de chacun des deux facteurs restants

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equations 19-07-19 à 15:28

Non, non, racine 3/2

Posté par
mousse42
re : Equations 19-07-19 à 15:37

pour revenir au message de départ et pour simplifer on a :

x\sqrt{x}=-x^2\implies x^3=x^4 mais la réciproque est fausse, donc pas d'équivalence.  L'erreur c'est d'avoir raisonné par équivalence

Posté par
carpediem
re : Equations 19-07-19 à 15:43

Sylvieg @ 19-07-2019 à 15:28

Non, non, racine 3/2  

Posté par
sadarou
re : Equations 19-07-19 à 18:01

mousse42 @ 19-07-2019 à 15:37

pour revenir au message de départ et pour simplifer on a :

x\sqrt{x}=-x^2\implies x^3=x^4 mais la réciproque est fausse, donc pas d'équivalence.  L'erreur c'est d'avoir raisonné par équivalence

Donc il n'a pas le droit de mettre x^3-x^4=0 ?

Posté par
carpediem
re : Equations 19-07-19 à 18:07

x \sqrt x = -x^2 => x^3 = x^4 se traduit en français par :

pour avoir  x\sqrt x = -x^2  il est nécessaire d'avoir x^3 = x^4

après on peut toujours transformer en x^3 - x^4 = 0 sans aucun problème ...

Posté par
sadarou
re : Equations 19-07-19 à 18:14

carpediem @ 19-07-2019 à 18:07

x \sqrt x = -x^2 => x^3 = x^4 se traduit en français par :

pour avoir  x\sqrt x = -x^2  il est nécessaire d'avoir x^3 = x^4

après on peut toujours transformer en x^3 - x^4 = 0 sans aucun problème ...

Quelle reciproque parle alors mousse 42 ?

Posté par
carpediem
re : Equations 19-07-19 à 18:17

ben avec la flèche => et sa réciproque <= ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Equations 19-07-19 à 22:03

carpediem @ 19-07-2019 à 14:22

puisque ça diverge j'y vais de ma petite rengaine ...

pour résoudre une équation qui n'et pas du premier degré on met tout dans un membre et on factorise !!!

x\sqrt x + x^2 = 0 \iff x \sqrt x (1 + \sqrt x) = 0

le troisième facteur est supérieur à 1 (par définition de la racine carrée) donc ne peut s'annuler ...


ça revient un peu à ce que j'avais proposé .... si x est strictement positif, x\sqrt x + x^2 l'est aussi donc n'est pas nul, et x ne peut pas être strictement négatif à cause de la racine, il ne reste que x = 0, qui a le bon goût de fonctionner

Posté par
carpediem
re : Equations 20-07-19 à 12:14

oui mais je voulais revenir au fondamentaux (de collège) : premier degré / pas "premier degré" (que je mets entre guillemets à cause de la racine carré)

ensuite on peut utiliser des outils "plus évolués" ou encore des "astuces" : une somme de termes positifs (avec la condition x >= 0 bien sur) est positive et ne s'annule que si ...

Posté par
sadarou
re : Equations 22-07-19 à 19:55

Merci beaucoup
Je vais essayer de considérer la réponse de lafol



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