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Niveau seconde
Equations avec 3 valeurs absolues
Posté par jpigrec
Bonsoir à tous,
Ma petite fille en 2nd à l'équation suivante avec 3 valeurs absolues à résoudre : |3x+1|+|1-x| = |2x-3|.
Pour résoudre ça il y a évidemment la méthode "en force" puisque chaque valeur absolue a 2 expressions possibles (a et -a) ce qui donne en tout 8 cas possibles (et resterait à vérifier que chaque solution trouvée est valide).
Mais je me demande s'il n'y aurait pas une méthode plus astucieuse et moins lourdingue pour résoudre cette équation?
Bonne soirée.
Bonsoir ,
On peut utiliser le point de vue graphique avec la notion de distance en utilisant les propriétés de la valeur absolue pour faire apparaitre à chaque fois IxP-xQI
Bonsoir,
En s'y prenant bien, Il n'y aura que 4 cas.
L'équation est équivalente à |3x+1| + |1-x| - |2x-3| = 0.
Poser f(x) = |3x+1| + |1-x| - |2x-3|
Et faire un tableau pour y faire apparaître |3x+1|, |1-x| et |2x-3| sans valeur absolue.
Par exemple, pour |3x+1| :
Si x < -1/3 alors |3x+1| = -3x-1.
Si x = -1/3 alors |3x+1| = 0
Si x > -1/3 alors |3x+1| = 3x+1.
Dans la première ligne du tableau, celle de x, les valeurs à mettre sont celles où 3x+1, 1-x et 2x-3 changent de signe.
Il y aura donc 4 intervalles qui vont apparaître dans ce tableau.
Bonjour philgr22 et merci pour la réponse bien que je ne vois pas très bien son application dans le cas présenté.
Bon diamnche.
Bonjour Sylvieg et merci de la réponse qui est bien plus efficace que de traiter tous les cas possibles car on passe de 8 cas à 4 d'où une diminution notable et une présentation nettement plus claire. De plus cette présentation visualise bien qu'il ne faut pas oublier de vérifier si chaque solution trouvée est valide c'est à dire se trouve bien dans l'intervalle dans lequel on se trouve.
Effectivement dès qu'il ne s'agit plus des exercices basiques (sur la distance entre 2 points) on ne sait pas calculer directement avec les valeurs absolues et il faut traiter exhaustivement les (n+1) cas (intervalles) possibles s'il y a n valeurs absolues dans l'équation à résoudre.
Bon dimanche.
salut
sans même introduire la fonction f comme Sylvieg je confirme qu'il n'y a que quatre cas :
je note A, B et C les trois valeurs absolues de l'énoncé et on veut résoudre l'équation (E) : A + B = C et a, b, c leur racines respectives :
ces trois racines partagent R en quatre intervalles sur chacun desquelles l'équation (E) s'expriment sans valeur absolue
un tableau est une façon de schématiser efficacement les choses pour se débarrasser des valeurs absolues et alors il ne reste que quatre équations à résoudre ... qui peuvent même être identiques par exemple lorsque tous les arguments sont positifs ou tous les arguments sont négatifs
