1)

g(x) = ln(x) + x + 1 = 0
Df : x dans R+

g '(x) = 1/x + 1 = (1+x)/x
g '(x) > 0 dans R+ -> g(x) croissante.

lim(x-> 0+) g(x) = -oo

lim(x-> oo) g(x) = oo

Des 3 lignes précédentes, on conclut qu'il y a une et une seule
valeur de x sur R+ qui annule g(x).

g(0,27) = -0,39... < 0
g(0,28) 0,0070... > 0

Et donc la solution B à g(x) = 0 et comprise dans ]0,27 ; 0,28[
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2)
f(x)= (ln(x)*x)/(x+1) resoudre f(x)=1

(ln(x)*x)/(x+1) = 1
(ln(x)*x) = (x+1)
(ln(x)*x) - x - 1 = 0
On trouve par approximations successives: x = 3,591...

lim (x->oo) f(x) = lim(x->oo) ln(x) = oo
lim(x-> 0+) f(x) = lim(x-> 0+) x*ln(x) = forme indéterminée qu'on peut
lever en utilisant la matière vue au cours (j'ignore laquelle).
On trouve : lim(x-> 0+) f(x) = 0
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3)
Si dans l'énoncé e(n) signifie e^n, alors:

f(x) = (x*ln(x))/(x+1)

f(e^n) = e^n *(n) / ((e^n) + 1)

f(e^n) / n = (e^n) / ((e^n) + 1)

f(e^n) / n   < 1 puisque e^n > 0 quel que soit n.

f(e^n) < n
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f(x) = n
(ln(x)*x)/(x+1) = n
(ln(x)*x) = n.(x+1)
ln(x) = n.(x+1)/x
ln(x) > n
x > e^n

Et donc An > e^n

lim(n ->oo) An = oo
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Sauf distraction et si j'ai bien interprété les questions.