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Equations cartésiennes
Bonjour à tous voilà un exercice que je n' arrive pas à faire.
On considère dans E=
3 les quatres points suivants :
A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) D(0,-1,0).
1. Vérifier que le triangle est équilatéral.(ça j' ai quand même réussit).
2.Soit I le milieu du segment [AB] et J le milieu de [AD].Calculer le produit scalaire vecteur CI X vecteur CJ. En déduire la valeur de cos (
), ou désigne l' angle des droites CI et CJ.
3.Determiner une équation cartésienne du plan Q orthogonal à la droite CI passant par le point J.
4.Soit H la projection orthogonale de J sur la droite CI. Calculer les coordonnées de H.
5.Donner des équations parmètriques pour le plan passant par les points A, B et C. En déduire une équation cartésienne de ce plan.
6.Soit K la pojection orthorgonale de J sur le plan (ABC); déterminer les coordonnées du point K.
I (1/2, 1/2, 0) J (1/2, -1/2, 0)
CI (1/2, 1/2, -1) CJ(1/2, -1/2, -1) donc CI.CJ=1/4-1/4+1=1 et CI²=CJ²=1/4+1/4+1=3/2
donc cosa=CI.CJ*(CI²CJ²)^-1/2=2/3
Soit M(x,y,z) un point de Q, on a alors JM.CI=0 soit
(x-1/2)/2+(y+1/2)/2-z=0
JH.CI=0 et H(t/2, t/2, 1-t) donc JH ((t-1)/2, (t+1)/2, 1-t)
donc t/2+t-1=0 , t=2/3 soit H(1/3, 1/3, 1/3)
Essaie de continuer
ça marche si je fais ça ? mais pour le reste...
AB(-1 1 0)
AC(-1 0 1)
x=1-t
y=0+t
z=0
Il faut deux paramètres pour l'équation paramétrique d'un plan: on peut écrire que le point courant est le barycentre de A(a) B(b) et C(1-a-b)
le point courant est le barycentre de A(a) B(b) et C(1-a-b), donc x=a, y=b, z=1-a-b donc x+y+z=1. Non?
ben on a pas vraiment l' habitude d' utiliser des barycentres et la notion de point courant pour résoudre ce genre de problème.
sinon pour le projeté orthogonale de J sur ABC vous voyez comment faire.
quelqu' un pourrait m' aider pour les 2 dernière questions.
Si l'expression "point courant" te gène, remplace là par "tout point du plan"...
et si M est dans le plan ABC, il existe a et b tels que aMA+bMB+(1-a-b)MC=0 (vecteurs) (puisque CM=aCA+bC) : a et b sont les coordonnées de M dans le repère CA, CB
Compte tenu des coordonnées de A B C, on a bien pour celles de M: x=a, y=b et z=1-a-b
d'où x+y+z=1
K projeté orthogonal de J est tel que JK soit perpendiculaire à ABC donc parallèle au vecteur normal (1,1,1), soit x-1/2=y+1/2=z, et de plus K appartient à ABC donc x+y+z=1
donc z=1/3 et x=5/6, y=-1/6
donc K (5/6, -1/6, 1/3)
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