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Equations-Complexes
Bonjour, voici un énoncé sur lequel j'ai quelques difficultés, bien qu'ayant répondu a pas mal de questions.
Soient a,b,c des complexes avec a et b distincts et c non nuls, n un entier naturel supérieur ou égal a 3 et (E)=(z-a)^n =c(z-b)^n
Soient k le réel strictement positif tel que k^n=|c| et O un argument du complexe non nul c.
1.Montrer que z est solution de (E) <=> Il existe u appartenant a C tel que (z-a)/(z-b) =ku avec
u^n=e^(iO).
J'ai réussi celle la (enfin je pense)
2.Exprimer selon la valeur de c le nombre de solutions complexes distinctes de l'équation (E) en fonction de n.
Si c=0, alors z=a et si c différent de 0, il y'a n solutions. (je ne suis pas sur ici)
3.Montrer que si k est égal à 1, alors les points du plan d'affixe les solutions de (E) sont tous alignés sur une droite a préciser
Je trouve que c'est la médiatrice passant par les points d'affixe a et b.
4.Montrer que si k différeent de 1 alors les points du plan d'affixe les solution de (E) sont tous sur un cercle à préciser.
Ici je bloque, je pense qu'il faudrait obtenir |z-quelque chose|=|d'autre chose|
5.Trouver tous les complexes a,b,c avec a différent de b et c différent de 0 tels que toutes les solutions de (E) sont réelles.
Ici je bloque aussi..
Pouveez vous m'aider s'il vous plait en corrigeant mes erreurs,si j'en ai, et en me donnant une piste pour les deux dernieres questions. Je vous suis infiniment reconnaissant.
Merci 
Personne ne peut me donner une piste pour que je puisse avancer s'il vous plait?
Pour ce qui est de la question 2 je pense avoir fait une erreur.
Si c=0, alors z=a mais si c est différent de 0 alors z(1-ku)=a-bku d'ou z=(a-bku)/(1-ku) et il ne me reste qu'a simplifier,ce que je n'arrive pas a faire.
Merci pour votre aide
Bonsoir Laurierie;
Si j'ai bien compris,il s'agit de l'équation
:
avec les conditions
on commence par remarquer que ni ni
n'est solution de
et donc que:
ainsi
solution de
racine nième de
comme on sait qu'il admet exactement
racines nièmes distinctes.
deux cas à discuter:
figure parmi les racines nièmes de
et comme
(
) on voit que dans ce cas
admet
solutions distinctes.
admet
solutions distinctes.
Elhor,
Oui tu as bien compris il s'agit bien de l'équation que tu as écrite. Tout d'abord je n'avais pas fais attention aux conditions imposées.
Il faut donc utiliser le théorème du cours énoncant que le nombre de racines n-iemes d'un complexe est de n. Etant donné les conditions imposés, on a bien (z-a)différent de (z-b). D'ou les n-1 solutions.
Il ne me restera plus que les deux dernieres questions a traiter sur lesquelles je seche pour le moment.
Merci encore pour toute cette aide.
3) si alors
et par suite pour toute solution
de
on a :
d'où
ie
les solutions de sont donc alignées sur la médiatrice des points d'affixes
et
.
4)si alors toute solution
de
vérifie:
ou encore
avec les points cela se traduit par:
ou encore en faisant appel à la structure euclidienne du plan complexe
ie
ou encore
où
et
désigant respectivement les barycentres des systémes
et
(qui existent bien puisque
) on voit ainsi que:
qui est l'équation du cercle de diamètre le segment
.
un petit calcul donne les affixes de et
soit
5)
condition nécéssaire:
si on sait que
admet
solutions distinctes toutes sur un mm cercle donc ne peuvent ^tre toutes réelles.
d'où
condition suffisante:
supposons on sait qu'alors les solutions de
sont alignées sur la médiatrice de
et pour qu'elles soient toutes réelles il faut et il suffit que cette médiatrice soit la droite réelle d'où
conclusion:
les solutions de (E) sont toutes réelles
Sauf erreur bien entendu 
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