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équations de cercle et nbre complexe
Bonjour tout le monde !
Il y a une unique question d'un DM que je n'arrive pas à résoudre ! J'ai cherché pleins d'idées ds mes anciens cahiers de la seconde à la terminale mais rien !
Dc le voici :
Pour tout nombre complexe P(Z) = Z4 - 1
a. Factorisation ? Rép : (Z2- 1)(Z2 +1) = (Z+1)(Z-1)(Z2+1)
b. Solutions dans C de P(Z) =0.
Rép : S = {-1 ; 1 ; -i ; i}
c. En déduire les solutions de l'inconnue z dans C :
[(2z+1)/(z-1)]4=1
Rép : s = {-2 ; 0 ; (1+i)/(2 + i) ; (-1-i)/(2-i)}
Pour l'instant, facile... Mais c'est la suite ! J'espère que dans cette première partie, je n'ai pas fait d'erreur mais j'ai tt vérifier ! Et là :
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;vecteur u;vecteur v).
Les points A, B, et C d'affixes respectives :
a = -2
b = -1/5 - 3/5i
c = -1/5 + 3/5i
Démontrer que ces 3points et le point O sont sur un cercle que l'on définira.
Voci la dernière question que je n'arrive pas à trouver et ça m'énerve !
J'ai développé (2z+1)/(z-1) en posant z = a + bi
pour tomber sur un réel et un imaginaire. Mais après, ça ne répond pas à la question ! Car les affixes ne fonctionnent pas !
Je vous remercie par avance de m'aider ou de me donner des idées !
Je vous laisse mon adresse : patricia.blaise2@wanadoo.fr
encore merci bcp !
Céline
bonsoir 
,
je rectifie une chose:
a. Factorisation ?
Rép : (Z²- 1)(Z² +1) = (Z+1)(Z-1)(Z²+1)
tu peux encore factoriser:
(Z²-1)(Z²+1)=(Z-1)(Z+1)(Z-i)(Z+i)
(remarque: tu aurais pu le rectifier après avoir fait la 2ème question )
d'autre part,
j'ai pour habitude d'éviter de mettre des complexe au dénominateur dans mes résultats, je trouve que c'est plus estétique et plus maniable pour la suite des questions,
donc personnellement, les résultats du C
S = {-2 ; 0 ; (1+i)/(2 + i) ; (-1-i)/(2-i)}
={-2; 0; (-1-3i)/5; (-1+3i)/5}
ainsi on remarque pourquoi on introduit les points en 2.
maintenant, pour ta question,
j'ai procédé ainsi:
analyse:
si les points B et C sont sur un cercle, le centre appartient à la médiatrice de [BC], qui est l'axe des réels (et oui, leur affixes sont conjugués)
d'autre part, les points A et O appartiennent aussi à ce cercle, donc le centre appartient à la médiatrice de [AO], qui coupe l'axe des réels au point d'affixe 1.
maintenant, faisons la synthèse et montrons que si on
pose H d'affixe 1,
on a HA=HO=HB=HC=1
ce qui prouve que les points O, A, B, C appartiennent au cercle de centre H et de rayon 1.
je te laisse calculer ces longueur et montrer l'égalité
à toi de jouer
si je peux me permettre ...
le centre H est le milieu de [OA] donc H est d'affixe -1 (A d'affixe -2)
salut
Salut à tous !
Je ne pensais pas avoir une réponse aussi rapide ! Ca me touche sincèrement ! Donc j'ai lu vos conseils et méthodes ! J'applique ça tout à l'heure et je viendrai vous confirmer si j'ai réussi !
Effectivement, qques étourderies comme les i au dénominateur, j'aurai du y penser !
Donc, je m'y colle dessus et je vous dis quoi en fin de journée !
Encore merci à tous ! Vous êtes super !!!!!!
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