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Niveau maths sup
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Equations de plans

Posté par
sgu35
22-08-20 à 14:13

Bonjour, j'ai besoin d'aide sur un exercice de cours :

Soit \Delta  la droite d'équations cartésiennes :
\begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}

Montrer que tout plan contenant \Delta a une équations de ce type.

Et la solution :
On pose \begin{cases}P(x,y,z)=ax+by+cz+d=0 \\ Q(x,y,z)=a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}
Soit T un plan contenant \Delta et M_0(x_0,y_0,z_0) un point de T qui n'appartient pas à \Delta.
On a P(x_0,y_0,z_0)\ne 0 ou Q(x_0,y_0,z_0)\ne 0
donc l'équation d'inconnues \lambda, \mu :
\lambda P(x_0,y_0,z_0)+ \mu Q(x_0,y_0,z_0) =0
admet au moins une solution non nulle(\lambda_0,\mu_0)
Par exemple, si Q(x_0,y_0,z_0)\ne 0, on peut prendre \mu_0=-1 et \lambda_0=Q(x_0,y_0,z_0)

A ce niveau je pense qu'il y a une erreur : ce ne serait pas plutôt \mu_0=-P(x_0,y_0,z_0) ?

Posté par
Zormuche
re : Equations de plans 22-08-20 à 21:25

Bonsoir, en effet c'est \mu_0=-P(x_0,y_0,z_0)  sinon ça marche pas !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equations de plans 23-08-20 à 07:41

Bonjour,

Citation :
Montrer que tout plan contenant \Delta a une équations de ce type.
Quel type ?
Ce sujet ne serait-il pas la suite de exercice intersection de plans ?

Par ailleurs, on peut choisir aussi \; \mu_0=-1 \; avec \; \lambda_0=\dfrac{Q(x_0,y_0,z_0)}{P(x_0,y_0,z_0)} .

Posté par
luzak
re : Equations de plans 23-08-20 à 11:00

Bonjour !
Ce que je ne comprends pas non plus c'est

Citation :
On pose \begin{cases}P(x,y,z)=ax+by+cz+d=0 \\ Q(x,y,z)=a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}

Il me semble qu'on devrait définir les polynômes P,Q sans mettre =0 au bout !

Il est probable qu'on demande de montrer que pour tout plan contenant \Delta il existe des réels \lambda,\mu tels que l'équation du plan soit
\lambda P(x,yz)+\mu Q(x,y,z)=0.

Posté par
sgu35
re : Equations de plans 23-08-20 à 11:57

Citation :
Quel type ?

désolé il s'agit de l'équation :
\lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d')=0

Posté par
sgu35
re : Equations de plans 23-08-20 à 12:15

Citation :
On pose \begin{cases}P(x,y,z)=ax+by+cz+d=0 \\ Q(x,y,z)=a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}

Oui désolé c'est bien :
\begin{cases}P(x,y,z)=ax+by+cz+d \\ Q(x,y,z)=a'x+b'y+c'z+d' \end{cases}

Posté par
sgu35
re : Equations de plans 23-08-20 à 12:26

Citation :
Il est probable qu'on demande de montrer que pour tout plan contenant \Delta il existe des réels \lambda,\mu tels que l'équation du plan soit
\lambda P(x,yz)+\mu Q(x,y,z)=0.


Oui c'est vérifié pour les valeurs de \lambda=Q(x_0,y_0,z_0) et \mu = -P(x_0,y_0,z_0)

Posté par
Zormuche
re : Equations de plans 23-08-20 à 16:52

Sylvieg

Sylvieg @ 23-08-2020 à 07:41



Par ailleurs, on peut choisir aussi \; \mu_0=-1 \; avec \; \lambda_0=\dfrac{Q(x_0,y_0,z_0)}{P(x_0,y_0,z_0)} .


à condition que  P(x_0,y_0,z_0)\ne 0 !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equations de plans 23-08-20 à 16:59

Oui, alors que la phrase commence par

Citation :
Par exemple, si Q(x_0,y_0,z_0)\ne 0

De toutes façons avec un énoncé aussi mal recopié, difficile de s'y retrouver

Posté par
sgu35
re : Equations de plans 24-08-20 à 14:22

Je ne comprends plus pourquoi l'équation \lambda P(x_0,y_0,z_0) +\mu Q(x_0,y_0,z_0)=0 admet au moins une solution non nulle (\lambda_0,\mu_0)...

Posté par
sgu35
re : Equations de plans 24-08-20 à 14:42

Parce que si P(x_0,y_0,z_0)=0 et Q(x_0,y_0,z_0)=0 alors n'importe quelles valeurs de \lambda et \mu vérifient l'équation \lambda P(x_0,y_0,z_0)+\mu Q(x_0,y_0,z_0).

Posté par
Zormuche
re : Equations de plans 24-08-20 à 14:43

Parce que le couple (Q(x0,y0,z0), -P(x0,y0,z0)) est solution et est un couple non-nul c'est à dire différent de (0,0) puisque au moins un des deux composants est non nul par hypothèse

Posté par
sgu35
re : Equations de plans 24-08-20 à 15:06

La négation de :
l'équation admet une solution nulle (\lambda,\mu)=(0,0)
est :
l'équation admet au moins une solution non nulle, n'est-ce pas?

Posté par
luzak
re : Equations de plans 24-08-20 à 16:47

Si  P(x_0,y_0,z_0)=0 et Q(x_0,y_0,z_0)=0 alors le point M_0 est sur la droite \Delta ce qui est exclu (savoir lire un énoncé !)

Posté par
sgu35
re : Equations de plans 24-08-20 à 16:53

luzak, je voulais raisonner par contradiction (ou par l'absurde je ne sais pas exactement).

Posté par
sgu35
re : Equations de plans 04-09-20 à 20:26

Pas de réponse?

Posté par
Zormuche
re : Equations de plans 04-09-20 à 20:37

Tu dois montrer que dans les conditions où P(x_0,y_0,z_0) ou Q(x_0,y_0,z_0) est non-nul, alors il existe au moins un couple de solution non-nul à l'équation sus-dite

Pas besoin de contradiction ou d'absurde ici : on suppose que P(x_0,y_0,z_0) ou Q(x_0,y_0,z_0) est non-nul, on exhibe un couple solution en constatant qu'il est non-nul et voilà

Pour démontrer par l'absurde, on considère le contraire de ce qu'on veut démontrer, pas le contraire des hypothèses de départ

Par ailleurs, la négation de "l'équation admet une solution nulle" est "l'équation n'admet pas de solution nulle" ou encore "toute solution de l'équation est non-nulle"

Posté par
XZ19
re : Equations de plans 04-09-20 à 21:22

Bonjour  
Soit  a''x+b''y+c''z+d''=0  l'équation d'un plan R  qui contient \Delta
Alors  en posant  X=(x,y,z)^t  

M=[a,b,c,
         a',b',c',
         a'',b'',c'' ]        et   D=-(d,d',d'')^t    

Alors  le système  M X=D  admet  la droite affine \Delta comme solution

Le rang  de M est donc 2.  Comme  les 2 premières lignes de M sont indépendantes  

la  3ème  ligne est une  CL (non triviale  des  2 premières lignes),  i.e  

Il  existe donc  (\lambda,\mu)\neq (0,0) tq  
(a'',b'',c'')=\lambda(a,b,c)+ \mu(a',b',c')

En remplaçant  n'importe quelle solution dans le système  MX=D
on obtient que  d''=\lambda  d  + \mu  d'  [/tex]

L' équation de R  est dc  une  CL  non triviale des  2 équations de plans qui déterminent  \Delta



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