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Equations de plans. Barycentre

Posté par LIQUETTE (invité) 18-05-05 à 14:03

Bonjour! J'aurais besoin d'aide pour l'exercice ci-après, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît? Merci d'avance...
(0,,,) est un repère orthonormal; m est un réel.
On considère   les points :
A(0,0,2), B(0;1;0), C(-1;0;0), M(2m+1;m;3m-2).
1) Sur quelles droites remarquables se trouvent les points A,B,C? Vérifiez que A,B,C ne sont pas alignés.
Ma réponse: A est sur l'axe
            B est sur l'axe
            C est sur l'axe
-> Sachant qu'ils sont sur des axes différents alors ils ne sont pas alignés.
2)a) Montrez que =-2+2+ est orthogonal à chacun des vecteurs (AB) et (AC).
Ma réponse: vecteur (AB) (0;1;-2)
            vecteur (AC) (-1;0;-2)
vecteur (AB) . =0*(-2)+1*2+(-2)*1
                             =0
-> vecteur (AB) et sont orthogonaux.

vecteur (AC) . =(-2)*(-1)+2*0+1*(-2)
                               =0
-> vecteur (AC) et sont orthogonaux.
b) Je n'ai pas réussi cette question: Déduisez-en que "P(x;y;z) appartient à (ABC)" équivaut à "-2x+2y+z-2=0".
c)Je n'ai pas trouvé cette réponse: Pour quelle valeur de m, le point M appartient-il au plan (ABC)?
d) Je n'ai pas réussi à cette question: D est le point de coordonnées (1;0;-2). Quelles sont les coordonnées du vecteur (DM)? Déduisez-en que lorsque m décrit , le point M décrit une doite passant par D. Précisez l'intersection de la droite et du plan (ABC).
3)On considère le système de points pondérés:
(A,2), (B,-1), (C,1), (M,-1).
a)Montrez que ce système admet un barycentre G.
Ma réponse:
vecteur (AG)= b/a+b+c+m vecteur (AB)+c/a+b+c+m vecteur (AC)+ m/a+b+c+m
              vecteur (AM)
vecteur (AG)= -vecteur (AB) + vecteur (AC)- vecteur (AM)
Ce point est -il fixe? -> Oui ce point est fixe car il n'y a pas de variante.
b) Prouvez que vecteur (AG)= vecteur (BC)- vecteur (AM).
Ma réponse: Par la relation de Chasle: - vecteur(AB)+ vecteur(AC)
                                      =vecteur(BA) + vecteur(AC)
                                      =vecteur(BC)  
-> Donc vecteur(AG)= vecteur(BC)-vecteur(AM)
c) Je n'ai pas réussi à répondre à cette question: I est le point défini par vecteur(AI)=1/2 vecteur(BC)
Montrez que G est le symétrique de M par rapport à I. Déduisez-en alors le lieu géométrique de G quand m décrit , c'est-à-dire quand M décrit.

Posté par
muriel Correcteurre : Equations de plans. Barycentre 18-05-05 à 14:48

bonjour
ok pour tes réponses 1 et 2.a

pour 2.b
Déduisez-en que "P(x;y;z) appartient à (ABC)" équivaut à "-2x+2y+z-2=0".
que signifie \vec{u} orthogonal à \vec{AB} et \vec{AC}? (qu'est ce que \vec{u} pour le plan (ABC)?)

que signifie P appartient au plan (ABC)?
on peut écrire le vecteur \vec{AP} en fonction de \vec{AB} et \vec{AC}
mais tu peux aussi dire que \vec{AP} est orthogonal à ...
avec ces indication, tu devrais y arriver

c)Pour quelle valeur de m, le point M appartient-il au plan (ABC)?
application de la question précédente quand P=M
je te laisse faire les calculs

d) D est le point de coordonnées (1;0;-2). Quelles sont les coordonnées du vecteur (DM)? Déduisez-en que lorsque m décrit IR, le point M décrit une doite \Delta passant par D. Précisez l'intersection de la droite \Delta et du plan (ABC).

rappelles toi que M(2m+1;m;3m-2).
et trouver les coordonnées de \vec{DM}, tu sais le faire, car tu as bien trouvé les coordonnées du vecteur \vec{AB}
tu trouves normalement \vec{DM}=m\times \vec{v}
avec des coordonnées sur \vec{v} qui ne dépendent pas de m
ainsi, pour tout réel m, M appartient à la droite passant par D et ayant un vecteur directeur \vec{v}

Précisez l'intersection de la droite \Delta et du plan (ABC).
il faut que tu cherches un point M(2m+1;m;3m-2) tel que M appartiennent au plan (ABC), c'est à dire, ses coordonnées vérifient:
\vec{AM}.\vec{u}=0

3)On considère le système de points pondérés:
(A,2), (B,-1), (C,1), (M,-1).
a)Montrez que ce système admet un barycentre G.
je n'ai pas compris ce que tu as fait
mais il y a plus simple:
pour qu'un système admette un barycentre, il faut et il suffit que la somme des poids soit non nulle, ici:
2-1+1-1=1\no{=}0
donc ce système admet un barycentre

fixiter du point G:
tu as
2\vec{GA}-\vec{GB}+\vec{GC}-\vec{GM}=\vec{0}
traduis cela en terme de coordonnées, en prenant pour G (x;y;z)
et regardes si les réels x, y et z dépendent de m ou non

b)


c) I est le point défini par vecteur(AI)=1/2 vecteur(BC)
Montrez que G est le symétrique de M par rapport à I. Déduisez-en alors le lieu géométrique de G quand m décrit IR, c'est-à-dire quand M décrit \Delta

G symétrique de M par rapport à I, traduit le fait que I soit le milieu de [GM], c'est à dire que \vec{GI}=\frac{1}{2}\vec{GM}
à toi de regarder si c'est bien le cas

M décrit une droite, quelle est l'image d'une droite par une symétrie centrale?

à toi de jouer


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