Bonjour j espere que vous m aider a repondre a une question sur un
probleme sur les equations differentiels

A l'instant t=0, on injecte dans le sang d un patient une dose
de 3 ml d un medicament .Une etude du processus d elimination de
ce medicament a permis d observer qu a chaque instant t exprime em
heures la vitesse d elimination de ce produit est proportionnelle
  a la quantite f(t) exprime em mL de medicament encore presente dans
le sang du patient c est a dire qu il existe une constante strictement
positive k telle que:f'(t)=-k*f(t)  

Un dosage effectue au bout de 30 minutes c est a dire a l instant  
0.5 permet d estimer la quantite de medicament presente dans le sang
a 2.85mL.En deduire une approximation de f'(0) puis de k

merci de bien vouloir m aider

** message déplacé **

f '(t) = -k.f(t)

La solution de cette équation différentielle est immédiate:

f(t) = A.e^(-kt)   avec A une constante à déterminer.

f(0) = 3
-> 3 = A.e^0
A = 3

f(t) = 3.e^(-kt)

f(1/2) = 2,85
2,85 = 3.e^(-k/2)

e^(-k/2) = 2,85/3 = 0,95
-k/2 = ln(0,95)
k = -2.ln(0,95) = -0,1025865888...
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Autrement:

Comme la variation de dose entre t = 0 et t = 1/2 est faible, on peut dire
que:

f(1/2) =environ  f(0) + f '(0).(delta t)
f(1/2) = f(0) + f '(0).(1/2)

2,85 = 3 + (f'(0)/2)
f '(0) = -0,3

et comme f '(t) = -k.f(t)
f '(0) = -k.f(0)
-0,3 = -k.3
k = 0,1
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Cette seconde méthode est moins précise mais dans les restrictions de l'énoncé
donne une précision acceptable.

A toi de voir, en fonction de la matière étudiée ce qu'on attend
de toi.
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Sauf distraction.  

Attention, à la fin de la première partie de ma réponse précédente,
lire:

k = -2.ln(0,95) = 0,1025865888...