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Equations différentielles
Bonjour à tous,
je viens vous demander votre aide car j'ai un dm de maths à rendre à la rentrée mais je bloque sur un exercice concernant les équations différentielles.
Voici l'énoncé :
On considère les 2 équations différentielles suivantes : (E0) : y'-2y=0 et (E) : y'-2y=e2x
1. Résoudre l'équation différentielle (E0)
2. Dans cette question, on se propose de résoudre l'équation différentielle (E).
a) Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)=xe2x est solution de (E).
b) Démontrer qu'une fonction v définie sur R est solution de (E) si et seulement si la fonction (v-u)
est solution de (E0).
c) En déduire toutes les solutions de l'équation (E).
3. Déterminer la fonction f, solution de (E) telle que f(0)=1.
Je suis pour l'instant arrivée à répondre à première question uniquement. Je bloque totalement à partir de la question 2.a)...
J'espère que vous pourrez m'aider, je vous en remercie d'avance !!
2.a)
si u est solution de (E) alors tu dois juste montrer que: u'-2u=e2x
tu calcules alors u' et puis u'-2u et si tu vois que le résultat c'est e2x alors tu peux conclure!
2.b) Tu dois montrer 2 choses:
*) si v est solution de (E) alors (v-u) est solution de (E0)
*) si (v-u) est solution de (E0) alors v est solution de (E)
Tu vas démontrer cela en te servant du fait que u est solution de (E) et que tu connais la valeurs de u
*) si v est solution de (E) alors (v-u) est solution de (E0)
v solution de (E) donc v'-2v=e2x
u solution de (E) donc u'-2u=e2x
en faisant la première ligne - ladeuxième ligne:
(v'-2v)-(u'-2u)=0
v'-2v-u'+2u=0(v'-u')-2(v-u)=0
(v-u)'-2(v-u)=0
Donc (v-u) est solution de (E0)
*) si (v-u) est solution de (E0) alors v est solution de (E)
(v-u) solution de (E0) donc (v-u)'-2(v-u)=0(v'-u')-2(v-u)=0
v'-2v-u'+2u=0v'-2v=u'-2u
or on sait que u est solution de (E) et on a déjà montré que u'-2u=e2x
d'où v'-2v=e2x
Donc v est solution de (E)
On peut alors conclure que v est solution de (E) SI ET SEULEMENT SI (v-u) est solution de (E0)
En fait je n'arrive pas à trouver non plus pour la c), je suis totalement perdue avec cet exercice ...
D'accord!
Tu as trouvé que (v-u) est solution de (E0)
Or en 1 tu as trouvé que la solution de (E0) est de la forme ae2x!
d'où
(v-u)=ae2xv=u+ae2x
or u=xe2x
donc v=xe2x+ae2x=(x+a)e2x
les solutions de (E) sont donc de la forme:
y=(x+a)e2x
3. f est solution de (E) donc f(x)=(x+a)e2x
or f(0)=1
tu dois te servir de cette condition pour trouver la valeurs de a. tu trouves combien pour a? alors f(x)=?
0=1
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