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Equations différentielles
Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par
u(x)=(ax+b)e^x
Déterminer a et b pour que u soit solution de l'équation
y'-2y=xe^x (1)
Montrer que v est une solution de l'équation : y'-2y=0 si et seulement
si u+v est solution de (1)
En déduire l'ensemble des solutions de (1)
Déterminer la solution de l'équation(1) qui s'annule en 0
Et une autre partie :
f(x)=e^2x-(x+1)*e^x
Montrer que f(a)=(a^2+2a)/4 ou a : -1.6<ou égal à a<ou égal à
-1.7
et en déduire un encadrement de f(a)
Merci pour votre aide !!!!!!
u(x)=(ax+b)e(x)
alors
u'(x)=(a)e(x)+(ax+b)e(x)=(ax+a+b)e(x)
u verifie (1) si
u'-2u=xe(x)
ca donne
(ax+a+b)e(x)-2(ax+b)e(x)=xe(x)
(ax-2ax+a+b-2b)e(x)=xe(x)
(-ax+a-b)e(x)=xe(x)
ce qui donne -a=1 donc a=-1
et a-b=0 donc b=a=-1
donc u(x)=(-x-1)e(x)
La on montre une equivalence, il y a deux demo a faire:
si u+v verifie (1):
(u+v)'-2(u+v)=xe(x)
(u'-2u)+(v'-2v)=xe(x) or u verifie (1) donc u'-2u=xe(x)
il vient donc v'-2v=O ce que l'on voulait!
Reciproquement, supposons que v verifie v'-2v=O
alors (u+v)'-2(u+v)=
u'-2u+v'-2v=xe(x)+0=xe(x) donc (u+v) verifie (1)
la solution de y'-2y=0 est y=Ae(2x) A une constante
l'ensemble des olutions de 1 est donc
Ae(2x)+u(x)=Ae(2x)+(-x-1)e(x)
on veut une soltution qui verifie y(0)=O il faut donc calculer la constante:
y(0)=A-1=0 si A=1
la solution cherchée eest y(x)=e(2x)+(-x-1)e(x)
Je comprends pas la fin.
A+
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