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Niveau Maths sup
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équations différentielles

Posté par
Deb
17-11-17 à 20:08

Bonsoir à tous,
Alors voilà j'ai ds de maths demain, principalement sur les équations différentielles et j'ai quelques questions. Tout d'abord, notre prof nous a dit que bien qu'on ne l'ait jamais fait en classe, il nous demanderait certainement de savoir tracer (sans calculatrice bien sûr) la solution d'une équation différentielle. Il a également dit qu'il faudrait étudier le raccordement entre deux courbes.
Pourriez vous m'expliquer comment trouver ces choses là ?
Merci beaucoup !

Posté par
Jezebeth
re : équations différentielles 17-11-17 à 22:53

Bonjour
Si vous savez résoudre l'équation pour tracer le graphe de la fonction c'est une étude de fonction normale, il va certainement falloir faire une étude de la dérivée et établir les  variations.
Pour le recollement c'est surtout le cas pour le premier ordre lorsque le coefficient de la dérivée première s'annule. Par exemple si vous voulez résoudre xy'+y=x^2 sur R, il va falloir résoudre sur ]-inf, 0[ et sur ]0,+inf[ séparément puis écrire :

y\, solution \, sur \, R \Leftrightarrow \begin{cases} y \, solution\, sur\, ]-\infty ,0[ \\ y \, solution\, sur\, ]0 ,+\infty [ \\ y(0)=0 \\ y\,(continue)\,dérivable\,en\,0 \end{cases}

Typiquement la dernière condition impose une condition sur les constantes et permet d'exprimer les solutions générales, vous pouvez ensuite éventuellement étudier la fonction et faire les prolongements par continuité nécessaires.

Posté par
Schtromphmol
re : équations différentielles 17-11-17 à 23:04

Bonsoir,

Pour tracer ce qui ressemblerait à une solution d'une équa diff tu utilise le fait que tu connaisses la dérivé de ta fonction en un point à partir de sa valeur en ce point (pour une ED du premier ordre). Donc à partir d'une condition initiale tu peux tracer ta solution de proche en proche et tu obtient une approximation de ta solution. Par exemple si tu as y' = y (bon pour celle ci les solutions sont connues mais c'est pour l'exemple), tu vas partir d'un point de départ/consition initiale, par exemple y(0)=1, donc tu pars du point (0,1) et tu sais que la pente à cet endroit est de 1, donc tu peux tracer la tangente en ce point et donc prendre un autre point un peu plus loin sur la tangente et répéter l'opération pour obtenir l'allure de ta solution.

Pour le raccordement c'est souvent quand on a deux solutions continues sur deux intervalles qui se suivent, il faut alors montrer que les limites au point de rencontre coïncident pour obtenir une solution continue sur la réunion des intervalles et du point de rencontre. On peut aussi avoir des solutions C_k auquel cas il faut montrer que les dérivés i-èmes jusqu'à k ont aussi des limites quui coïncident.

J'espère que la réponse n'est pas trop tardive et qu'elle est suffisament claire.

Bonne chance pour ton DM.

Posté par
Deb
re : équations différentielles 18-11-17 à 14:11

ok merci à tous les deux !



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