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équations différentielles
Bonjour, j'ai un exercice de mon dm portant sur les équations différentielles, un chapitre que je ne maitrise pas du tout. J'ai tout de même bien sûr tenté de le faire, mais sans résultats réels. Si vous pouviez m'apporter une quelconque aide à la résolution de cet exercice, cela serait sympa. Merci.
Voici l'énoncé :
Le condensateur de capacité C = 4 × 10^-4( F (Farads) est monté en série avec un générateur dont la tension aux bornes est E = 6V (Volts) et un conducteur ohmique de résistance R = 88 Ω (Ohms).
À l'instant initial, le condensateur est déchargé et la tension est nulle à ses bornes.
On ferme le circuit, et on s'intéresse à l'évolution de la tension Uc aux bornes du condensateur.
D'après la loi d'Ohm et la loi d'addition des tensions, la tension Uc aux bornes du condensateur vérifie l'équation
différentielle :
E = R × C × dUc/dt + Uc où t est le temps en secondes.
1) Ecrire l'équation précédente sous la forme y' = ay + b
J'ai essayé comme ça, je pense que ce ne soit bon:
E = R(C*dUc/dt) + Uc
2) Résoudre cette équation en tenant compte des conditions initiales.
Cela serait avec mon équation:
6 = 88((4*10^-4)*dUc/dt) + 0
3) Donner la valeur de Uc au bout de 100ms.
Alors, si on isole dU/dt
cela donne :
dU * dt = RC + U - E ?
car on isole une fraction par une multiplication ?
carpediem
je ne vois donc pas comment isoler le y' alors qu'il est en produit avec le p, sachant que ce que j'ai fait ne marche pas...
donc elle est de la forme
y' = ay + b
mais j'arrive pas à bien distinguer les termes car c'est une fraction
mais je ne comprends à quelle valeur correspond U, je pensais 0 mais je suis pas sûr vu que c'est une fraction
1/ résoudre l'équation différence donnant toutes les solutions
2/ déterminer la solution particulière vérifiant les conditions initiales
La question 1 est donc finie ? avec cette nouvelle équation.
et pour ma 2e question, j'avais juste à remplacer par les valeurs de l'énoncé ?
ok alors :
éventuellement réviser son cours sur les équations différentielles puis
a/ résoudre l'équation différence donnant toutes les solutions
b/ déterminer la solution particulière vérifiant les conditions initiales
Re bonjour,
j'ai regardé du cours, et je vois qu'il faut trouver la constante, puis l'équation donnant toutes les solutions, pour la question 2.
Mais j'ai tout de même du mal à m'y prendre pour y répondre, ça m'énerve.
Pour trouver la constante, j'ai fait
(-1/RC) / (1/RC)
= (-1/RC) * (RC/1)
= -RC/RC
= -1
je crois que c'est pas bon, mais j'ai vu qu'il fallait trouver la constante solution de l'équation, puis en déduire la forme des solutions avec la formule
Constante + Ke^ax
Bonjour,
Attention l'équation différentielle est U' = -U/RC + E/RC
Qui est de la forme y'=ay + b
y' correspond à U', y correspond à U, a vaut -1/RC et b vaut E/RC
La solution est U(t) = Ke^at - b/a
Tu t'es donc trompé lorsque tu as calculé -b/ a. Ce n'est pas 1.
Ensuite pour trouver K, tu dois utiliser la condition initiale U=0 lorsque t=0.
Bonjour, merci
Ah oui je viens de m'en apercevoir que j'avais remplacé le E par 1, dans l'équation.
Ce n'est pas plutôt y le -1/RC ? Car le a serait -1 devant?
Donc la constante -b/a vaut :
(-E/RC) / (-1/RC)
= (-E/RC) * (RC/-1)
= (-E*RC / -RC)
= E ?
alma78
Bonjour, merci
Ah oui je viens de m'en apercevoir que j'avais remplacé le E par 1, dans l'équation.
Ce n'est pas plutôt y le -1/RC ? Car le a serait -1 devant? Non, a et b sont des constantes réelles et y est la fonction à trouver qui correspond à U(t).
alma78super
Donc, à l'instant initial, t = 0 et E vaut donc 6 je crois.
Donc on a donc :
U(0) = Ke^(-1/RC)*0 + 6
= K + 6
K = U(0) - 6 ?
Rappel :
À l'instant initial, le condensateur est déchargé et la tension est nulle à ses bornes.
En clair ça veut dire U=0 lorsque t=0.
carpediem U(0) = 0
alma78 U(t) = Ke^(-1/RC)t + E, avec E = 6
U = 0 quand t = 0
donc on a :
U(0) = Ke^(-1/RC)*0 + 6
= K + 6
K = U(0) - 6
= 0 - 6
= -6
Donc on a
U(t) = -6e^(-1/RC)t + E ?
Tu mélanges les valeurs numériques et les lettres comme R C E
J'aurais voulu voir U(t)=-Ee^(-1/RC)t +E
ou U(t)=E*(1 - e^(-1/RC)t )
alma78 Ah oui d'accord 
U(t)=-Ee^(-1/RC)t +E
Question à 100 balles : Que vaut U(t) lorsque t tend vers +
?Euh, déjà E ça tend vers +infini, l'exponentielle tendra vers 1 je crois, je vois pas trop
donc lim U(t) quand t tend vers +infini = +infini :') ?
Tu pourras passer ensuite à ton application numérique : combien vaut U(t) lorsque t=100ms
t = 100ms
= 0.1s
U(100) = -Ee^(-1/RC)*100 +E
= -Ee^(-100/RC) + E ?
E ne tend vers rien du tout ! E vaut 6 volts.
Quand à l'exponentielle , révise un peu tes limites . N'oublie pas le - qui est devant t.
Toujours pas !
Vers quoi tend e-x quand x tend vers + ?
Ou, ce qui revient au même :
Vers quoi tend ex quand x tend vers - ?
Maintenant calcule U pour t=100 ms c'est à dire 0,1 s
La valeur devra bien sûr être comprise entre 0 et 6 volts
Pour t = 0,1s
On a :
U(0,1) = -Ee^(-1/RC)*0,1 + E
= -Ee^(-0,1/RC) + E
mais quand j'ai remplacé les valeurs, ça me ne donne pas un résultat correct.
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