Niveau LicenceMaths 2e/3e a

équations différentielles

Posté par
Kahan15 17-10-21 à 23:29

Bonjour à tous
Je veux résoudre l'équation $y''+2y'+y=t e^t$ . On a les solutions $t\to (at + b)e^{-t}$ $a, b\in\mathbb{R}$ .
J'ai un problème de compréhension pour trouver une solution particulier de l'équation $y''+2y'+y=t e^t$ pourquoi il suffit de trouver une solution de la forme : $t \to ( \alpha t^2+\beta t+\gamma )e^t$ ?

Posté par re : équations différentielles 18-10-21 à 11:59

Bonjour, il suffit d'en trouver une et il parait logique d'essayer une forme qui ressemble à celle qu'on trouve dans le second membre.

Posté par re : équations différentielles 18-10-21 à 17:44

salut

Kahan15 @ 17-10-2021 à 23:29

pourquoi il suffit de trouver une solution de la forme : $t \to ( \alpha t^2+\beta t+\gamma )e^t$ ?

parce que les mathématiciens l'ont démontré !!!

et qu'un mathématicien ne se fatigue jamais inutilement !!

Posté par re : équations différentielles 18-10-21 à 18:11

Bonjour
Il y a une chose que tout étudiant devrait connaître (en terminale, les sacro-saints programmes ne le prévoient pas), ce sont les dérivées successives de fonction $g: t \mapsto z(t)e^t$

$g'(t) = (z'+z)e^t$

$g''(t) = (z''+2z'+z)e^t$

$g'''(t) = (z''' + 3z'' + 3z' + z)e^t$

Tiens, on dirait le triangle de pascal qui apparaît.

Du, coup, connaissant cela, dans une équation différentielle comme $y''+2y'+y=t \blue e^t$ _{(parce qu'au lycée, on aurait appris à reconnaître les choses, mais ça non plus c'est pas au prôôôôgramme d'apprendre à reconnaître les choses)} il viendrait naturellement à l'esprit de poser $y(t) = z(t)\blue e^t$ et on se retrouverait à résoudre $z''+4z'+3z = t$
Et là, on penserait naturellement à prendre un polynôme pour z, et dont le degré ne dépasserait pas 1 (et pas 2). Parce qu'en terminale, on aurait appris des choses sur les polynômes, leurs dérivées et leurs degrés et le degré des dérivées.

Mais comme en terminale, on a des programmes à la <biiiiiip>, alors ... bin voilà voilà !!

Posté par re : équations différentielles 18-10-21 à 18:27

plus généralement il est aisé de montrer que si $f(t) = P(t)e^{kt}$ (avec k non nul) et P un polynome de degré d alors pour tout n $f^{(n)}(t) = P_n(t)e^{kt}$ où P_n est un polynome de même degré n que P

or ici l'équation caractéristique possède une solution double et donne les solutions de l'équation homogène avec un facteur affine ... comme le second membre ...

donc pour avoir une solution particulière il faut aller un degré au-dessus ...

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