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Niveau terminale
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Equations différentielles

Posté par
Emilie38n
29-01-23 à 15:21

Bonjour,

je m'appelle Emilie, je suis actuellement en Terminale, option Maths complémentaires et je suis en train de faire un DM que je dois rendre mardi.

Je bloque actuellement sur un exercice. Vous serait-il possible de me guider dans la résolution de celui -ci ?
D'avance merci aux personnes qui prendront le temps de me lire et de m'aider

Voici l'énoncé:

On considère l'équation différentielle (E): y''-2y'=6
1) on pose y'=z
a) Montrer que z vérifie l'équation différentielle (E'): z'-2z=6
b) Résoudre (E')

2) La solution générale de (E) vérifie donc l'équation différentielle y'=z(x). Déterminer cette solution générale.

3) Déterminer la solution f de (E) vérifiant les conditions initiales f(0)=3 et f'(0)=1

Je ne vois pas comment je dois commencer l'exercice

Emilie

Posté par
Camélia Correcteur
re : Equations différentielles 29-01-23 à 15:31

Bonjour

Comme on pose y'=z, que vaut y"?

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 15:37

Bonjour,

effectivement j'ai continué de chercher en attendant une réponse et j'ai écris ceci:
on pose y'=z donc y''=z'
on peut donc écrire que (E) = z'-2z=6 donc z vérifie l'équation différentielle (E')

est-ce correct ?

Merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Equations différentielles 29-01-23 à 15:40

Oui, c'est bien ça.
je pense que tu as dans ton cours la méthode ou une formule pour résoudre cette nouvelle équation.

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 15:42

super merci

je recherche dans mon cours et je reviens noter ce que j'ai trouvé.

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 15:50

Voici ce que j'ai écris

On veut résoudre l'équation différentielle z'=2z+6 sur IR
Cette équation s'écrit sous la forme z'=az+b avec a=2 et b=6
donc la solution générale sont les fonctions définies sur IR par
z(x) = Ce^{ax}-\frac{b}{a}

donc z(x) = Ce^{2x}-\frac{6}{2}

=  Ce^{2x}-3 avec C appartenant à IR

Posté par
Camélia Correcteur
re : Equations différentielles 29-01-23 à 15:58

Bien maintenant tu reviens en y.

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 16:09

C'est ce que je viens de faire mais je suis coincée

on a donc z(x) =  Ce^{2x}-3=y'
et z'(x) = 2Ce^{2x}=y''

alors (E)= y''-2y'= z'-2z= 2Ce^{2x} -  2(Ce^{2x}-3)=6

et si je continue de résoudre je trouve 6=6 ??

Posté par
malou Webmaster
re : Equations différentielles 29-01-23 à 16:26

Bonjour

Emilie38n @ 29-01-2023 à 16:09

C'est ce que je viens de faire mais je suis coincée

on a donc z(x) = Ce^{2x}-3=y'
la suite est inutile, tu as y' tu peux trouver y en intégrant
et z'(x) = 2Ce^{2x}=y''

alors (E)= y''-2y'= z'-2z= 2Ce^{2x} - 2(Ce^{2x}-3)=6

et si je continue de résoudre je trouve 6=6 ??

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 16:38

Bonjour et désolée mais je ne comprends toujours pas ce que je dois faire.

Posté par
malou Webmaster
re : Equations différentielles 29-01-23 à 16:47

Tu connais y'

À quoi peut bien être égal y pour que sa dérivée vale ça ?

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 16:51

y' =  Ce^{2x}-3 donc y= \frac{1}{2}Ce^{2x}-3x

correct ?

Posté par
malou Webmaster
re : Equations différentielles 29-01-23 à 16:56

Presque oui
Pourquoi presque ? N'y en a t il pas plusieurs ?

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 17:13

du coup, si j'ai compris, il faut calculer f'(o) = 1 avec y'=  Ce^{2x}-3 et f(0)=3 avec y=\frac{1}{2}Ce^{2x}-3x

est-ce correct ?

Posté par
malou Webmaster
re : Equations différentielles 29-01-23 à 17:15

tu vas trop vite, tu n'as pas répondu à ma question

Emilie38n @ 29-01-2023 à 16:51

y' = Ce^{2x}-3 donc y= \frac{1}{2}Ce^{2x}-3x + K avec K réel

correct ?


et seulement ensuite tu regardes les conditions qui vont te permettre de déterminer C et K
d'accord ?

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 17:25

y' = Ce^{2x}-3


f'(o) = 1
donc  Ce^{2*0}-3 = 1

Ce^{0}-3 = 1
C}-3 = 1
C = 4

y= \frac{1}{2}Ce^{2x}-3x+k

f(0)=3

donc \frac{1}{2}Ce^{2*0}-3*0+k=3

\frac{1}{2}Ce^{0}+k=3

\frac{1}{2}C+k=3

C = 6-k = 4
donc C= 4 et k=2

Est- juste ?

Posté par
malou Webmaster
re : Equations différentielles 29-01-23 à 17:42

revois tes 3 dernières lignes (avant c'est juste)

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 18:05

oups effectivement petite erreur

\frac{1}{2}C+k=3

\frac{1}{2}C=3-k

C = 2(3-k)= 6 -2k

Donc C = 4 et k = 1

Si mes calculs sont bons cette fois cela devrait être juste

Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Equations différentielles 29-01-23 à 18:07

oui, c'est juste cette fois

Posté par
Emilie38n
re : Equations différentielles 29-01-23 à 18:14

Merci beaucoup pour votre aide qui m'a permis de mieux comprendre l'exercice.

Bonne soirée à vous

Emilie

Posté par
malou Webmaster
re : Equations différentielles 29-01-23 à 18:15

Je t'en prie. Bonne soirée à toi aussi Emilie38n. A une autre fois sur l'



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