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équations différentielles
bonjour
merci pour votre aide
On considère (E):
d'inconnue y définie et dérivable sur [0;+oo[
Déterminer la valeur du réel a tel que g (x)=soit une solution particulière de l'équation différentielle (E)
j'ai trouvé a=20
2)on considère l'équation différentielle
Déterminer les solutions de (E')
j'ai trouvé : x
C'est ici que je bloque :
3) en déduire les solutions de l'équation différentielle (E)
Bonjour,
1) Oui
2) Tu mélanges un peu :
j'ai trouvé : x
Plutôt les fonctions
3) Dans ton cours on a du te dire que les solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants et avec second membre (comme ici) sont les fonctions somme des fonctions solutions de l'équation sans second membre et d'une solution particulière.
Ici, tu tiens les deux avec les questions 1) et 2).
Bonjour,
D'abord, dans 2, ce n'est pas E'=, mais E'=
car on connait la valeur du coefficient de y
Ensuite, pour 3), le cours te dit que la solution complète est la somme de E' et d'une solution particulière.
@ Kohle, désolé, j'avais bien vérifié qu'il n'y avait pas de réponse, mais le temps que je poste, tu avais mis la tienne.
ah oui merci beaucoup j'ai vu mais je n'ai pas fait beaucoup d'exercices d'application je vais essayer
et je me suis trompé avec le latex mais j'avais bien écrit les fonctions sont les solutions de (E')
j'ai vu cette propriété:
Si 𝑓 et 𝑔 sont deux solutions de l'équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦, 𝑎 ∈ ℝ, alors 𝑓 + 𝑔 et 𝑘𝑓, 𝑘 ∈ ℝ, sont également solutions de l'équation différentielle.
et celle ci:
Les solutions de l'équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦 + 𝑏 (𝑎 et 𝑏 deux réels, 𝑎 non nul) sont les fonctions de la forme :
𝑥 ⟼ 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)
où 𝑢 est la solution particulière constante de l'équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦 + 𝑏
et 𝑣 est une solution quelconque de l'équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦
mais ici (E) n'est pas du typey'=ay+b à cause du membre de droite qui comporte un terme en x dans l'exponentielle
désolé c'est pas très clair pour moi ce chapitre
D'accord. Tu as fait un bon résumé de ce que tu "sais" et en conséquence de ce que tu "ne sais pas".
Donc apparemment, le résultat auquel j'ai fait allusion n'est pas dans ton cours.
On n'a plus le choix : il va falloir le démontrer. Ce n'est pas tout à fait immédiat quand on est débutant en équations différentielles.
Je ne pense pas que ce soit à ta portée. En conséquence, je posterai la démonstration dans ce cas particulier plus tard. Probablement en fin de soirée (si personne n'est intervenu d'ici là).
En attendant, tu peux y réfléchir ... 
salut
tout le problème est de savoir ce qu'est le second membre dont parle Kohle et qui n'est pas compatible avec
Les solutions de l'équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦 + 𝑏; (𝑎 et 𝑏 deux réels, 𝑎 non nul) sont les fonctions de la forme :
𝑥 ⟼ 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)
où 𝑢 est la solution particulière constante de l'équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦 + 𝑏
il est donc toujours préférable d'écrire l'équation différentielle sous la forme y' + ay = f(x) dont le second membre est indépendant de y et pour laquelle la propriété 3/ de Kohle s'applique sans problème
et de plus car :
1/ l'expérience conduit à comprendre pourquoi : la forme du second membre "donne" la forme d'une solution particulière dans de très nombreux cas
2/ l'écriture y' = ay + f(x) est évidemment équivalente à l'écriture y' - ay = f(x)
Vus sur la toile...
* D'après le B.O. :
Pour une équation différentielle y' = ay + ƒ : à partir de la donnée d'une solution particulière, déterminer toutes les solutions.
* Interprété par exemple ainsi dans un manuel :
Donc, vue la façon dont est posée l'exercice, il suffit de sommer les deux solutions sans chercher une quelconque démonstration.
Bonjour,
Vu l'autre exercice, il faut, peut-être, justifier le résultat. En tout cas, c'est ce que fait le correcteur de l'APMEP pour la question 3) de cet exercice, voir pièce jointe ci-dessous.
Zut, j'ai recopié bêtement la correction sans la vérifier !
A la deuxième ligne il y a une erreur, c'est
f'(x)-g'(x)=1/4*[g(x)-f(x)]
mais la suite est correcte (à une faute de frappe près).
certes mais il est dommage de donner la correction ...
C'était peut-être un peu maladroit, mais pour moi, c'était la méthode la plus simple pour illustrer la démarche qui semblait être celle qu'utiliserait un professeur de terminale. L'idée était que l'élève utilise la démarche dans l'autre exercice.
Par ailleurs, je ne pense pas qu'un élève de terminale ait la fameuse "expérience" dont tu parles pour deviner le plus souvent la forme de la solution particulière.
Désolé de ce petit billet d'humeur. Si ça déplait aux modérateurs, qu'ils me bannissent, je n'en mourrai pas.
Bonjour à tous
Aucun souci fph67
Sache que tous les programmes sont accessibles depuis les fiches d'ilemaths niveau terminale, et toutes ces corrections sont chez nous également ( fiches / bac) on peut peut être d'ailleurs aller voir comment Hiphigenie l'a rédigé 😉
Par ailleurs, je ne pense pas qu'un élève de terminale ait la fameuse "expérience" dont tu parles pour deviner le plus souvent la forme de la solution particulière.
là n'est pas le pb !! cela est une évidence !! et ce n'est pas de cela que je parle
(et l'expérience viendra justement dans la comparaison entre ce second membre et la solution particulière proposée ... pour celui qui continuera à avoir des équa diff à résoudre)
le pb est de donner la réponse à
4) On considère une fonction f définie et dérivable sur R.
Démontrer l'équivalence : « f solution de (E) ⇔ ( f − h) solution de E0».
y a t'il un lien avec cette propriété ?
(E) : y'=ay+f
si g solution particulière de (E) sur I
les solutions de (E) sur I sont les fonctions xCe^{ax}+g(x)
que je viens de voir dans mon post précédent?
Les solutions de l'équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦 + 𝑏 (𝑎 et 𝑏 deux réels, 𝑎 non nul) sont les fonctions de la forme :
𝑥 ⟼ 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)
où 𝑢 est la solution particulière constante de l'équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦 + 𝑏
et 𝑣 est une solution quelconque de l'équation différentielle 𝑦' = 𝑎𝑦
mais il est bon et important qu'un élève de terminale sache la faire ... avec un guide éventuellement la première fois
en tout cas au bac ce résultat est admis comme "l'indique" (le sous-entend) la question : en déduire ...
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