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équations différentielles A

Posté par
Nelcar 18-03-21 à 17:59

Bonjour,
voici un premier exercice sur les équations différentiellse
Soit l'équation différentielle (E): y'-2y=xex
1) résoudre l'équation différentielle (E') : y'-2y=0
2) Montrer que la fonction u définie sur par u(x)=(-x-1)e-x est une solution de (E).
3) en déduire toutes les solutions de l'équation (E)
4) Déterminer la fonction, solution de (E), qui d'annule en O

Je ne sais pas comment faire pour E'
voici ce que j'ai fait
solution générale y)Ce 2x   ou C est un réel
2) on remplace y par u
et là je ne retrouve pas la même chose
u(x)=(-x-1)e-x  
je calcule la dérivée  u(x)=-x-1   u'(x)= -1     v(x)=e-x    v'(x)= -e-x

donc e-x+(-x-1)-e-x = (-1-x)e-x

puis u'-2u
u'=(-1-x)e-x -2(-x-1)e-x=(1+x)e-x
je ne trouve pas pareil

et j'arrête là car je suis perdue

MERCI

Posté par
heklare : équations différentielles A 18-03-21 à 18:21

Bonsoir


Solution de (E') y=C\text{e}^{2x}

u(x)=(-x-1)\text{e}^{-x}

u'(x)=-1\text{e}^{-x}-(-x-1)\text{e}^{-x}=\text{e}^{-x}(x)

x\text{e}^{-x}-2(-x-1)\text{e}^{-x}=\text{e}^{-x}(x+2x+2)

Etes-vous certaine du texte ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : équations différentielles A 18-03-21 à 18:25

Bonjour,
Il y a une erreur dans l'énoncé.
Mais ta dérivée de u est fausse.
Maladroit de noter u(x) autre chose que le u(x) de l'énoncé.
Utilise plutôt v et w : (vw)' = v'w + vw'.

Posté par
alb12re : équations différentielles A 18-03-21 à 18:25

salut,
e^x dans la question 2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : équations différentielles A 18-03-21 à 18:26

Bonjour hekla
Je te laisse poursuivre.

Posté par
Glapion Moderateurre : équations différentielles A 18-03-21 à 18:26

Bonjour,
c'est pas plutôt y'-2y = x e-x l'équation différentielle ?

Citation :
donc e-x+(-x-1)-e-x = (-1-x)e-x


ben non, u'v = -e-x et v'u = (-x-1)(-e-x)

et donc u'v+v'u = ..... ?

Posté par
Glapion Moderateurre : équations différentielles A 18-03-21 à 18:27

ha oui je suis bien en retard ! je vous laisse.

Posté par
heklare : équations différentielles A 18-03-21 à 18:37

Bonjour Sylvieg, alb12

oui u(x)=(-x-1)\text{e}^x

Posté par
Nelcarre : équations différentielles A 18-03-21 à 18:40

Bonjour à vous tous (et toutes)
je viens de vérifier l'exercice et je n'ai pas fait d'erreur par rapport à ce que le prof à mis.
HEKLA : ce n'est pas u'v+uv' (toi tu as mis -)j'ai -e-x+(-x-1)-e-x
=(-x-1)-e-x

ok sylvieg la fois prochaine je ne prendrais pas u

Alb 12 : dans mon énoncé il est noté e-x

MERCI

Posté par
heklare : équations différentielles A 18-03-21 à 18:55

Le - provenait de la dérivée de \text{e}^{-x}


si u(x)=(-x-1)\text{e}^{-x} on pose v(x)= (-x-1) d'où v'(x)=-1 et w(x)=\text{e}^{-x} d'où w'(x)=-\text{e}^{-x}

u'(x)=-1\times \text{e}^{-x}+ (-x-1)\big((-)\text{e}^{-x}\big)=\text{e}^{-x}\left(-1-(-x-1)\right)\text{e}^{-x}=x\text{e}^{-x}

Posté par
Nelcarre : équations différentielles A 18-03-21 à 19:46

OK Hekla,
donc on suppose que (E) est xe-x  l'énoncé et donc faux.
Maintenant le 3)
en déduire les solution de l'équation (E)
les solution de (E) sont de la forme : f(x)=Ce2x+(-x+1)e-x


4) déterminer la fonction, solution de (E),  qui s'annule en 0
je ne vois pas la différence avec la question1

MERCI

Posté par
heklare : équations différentielles A 18-03-21 à 20:07

E  y'-2y = x\text{e}^x  sinon ce qui est proposé n'est  pas une solution particulière

les solutions de E sont y=C\text{e}^{2x}+(-x-1)\text{e}^{x}

f(0)=0 on a alors C\text{e}^{2\times 0}+(-0-1)\text{e}^{0}=0

À la question 1 on cherche une solution générale de l'équation (E'), à la question 4 on cherche

parmi les solutions de (E) celle qui vérifie la condition initiale f(0)=0

On cherche donc la valeur de C

Posté par
Nelcarre : équations différentielles A 18-03-21 à 20:53

HEKLA là je suis perdue, je pensais que l'énoncé était faux que c'était
(E): y'-2y=xe-x  ?
dans ton message de 18h55 tu avais bien mis  u'(x)= xe-x
je ne sais plus que faire

pour la 3) les solution de E sont y=Ce2x -b/a non ?

et là pour la solution tu mets y= Ce2x+(-x-1)ex  donc je met x ou -x ?

MERCI


Posté par
heklare : équations différentielles A 18-03-21 à 21:20

Dans un premier message vous avez dit 18 :40  que j'avais mis un signe - au lieu de + dans la dérivée de vw
Je disais donc que le - ne venait pas de la formule, mais de la dérivée de \text{e}^{-x} et j'avais réécrit le calcul.

20 :07 je prends comme énoncé  pour u, u(x)= (-x-1)\text{e}^x}

L'équation différentielle de départ a été conservée, c'est la solution particulière qui a été changée en (-x-1)\text{e}^{x} suppression du signe -

Citation :
pour la 3) les solutions de E' sont y=Ce2x -b/a non ?


Non car c'est le cas général pour une équa diff  de cette forme  y'+ay=b avec b\in\R

les solutions de E   sont  la somme d'une solution  générale  de y'+ay=0   donc sans second membre et d'une solution particulière avec second membre

Les solutions de E sont les fonctions définies par

\large y=C\text{e}^{2x}+(-x-1)\text{e}^x

Posté par
Nelcarre : équations différentielles A 18-03-21 à 21:33

OK
Maintenant pour la question 4 ton message de 20 h 07 donc je n'ai rien d'autre à faire on retrouve C=0

MERCI

Posté par
heklare : équations différentielles A 18-03-21 à 21:44

Heureusement que l'on ne trouve pas C=0

C-1=0 donc C=1

Posté par
Nelcarre : équations différentielles A 18-03-21 à 21:51

Oui j'ai fait une grave erreur

MERCI
là l'exercice est fini ?

Posté par
heklare : équations différentielles A 18-03-21 à 22:04

Non car il faut expliciter la fonction donc l'écrire en remplaçant C par 1

\large f(x)=\text{e}^{2x}+(-x-1)\text{e}^x Point final

Posté par
Nelcarre : équations différentielles A 18-03-21 à 22:08

OK

Merci beaucoup

ça faisait un moment que je n'en avais pas fait et j'ai déjà oublié certaines choses

ENCORE UNE FOIS UN GRAND MERCI

Posté par
heklare : équations différentielles A 18-03-21 à 22:17

Sur le site de l'APM il y a deux sujets qui auraient pu être donnés  si l'épreuve n'avait pas été annulée. Allez voir pour vous remonter le moral.

De rien

Posté par
Nelcarre : équations différentielles A 18-03-21 à 22:25

OK Merci je vais aller voir

Bonne soirée. A demain


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