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Équations différentielles avec changement de variable

Posté par
VinCEnZoo 19-03-18 à 21:55

Bonsoir,
J'ai un exercice sur un changement de variable avec les équations différentielles et j'ai un peu de mal. Pouvez vous m'apporter un peu d'aide ?

Enoncé : on considère sur +*, l'équation différentielle (E): x2y''+y=0.

Question: En utilisant le changement de variable t=lnx, montrer que la résolution de (E) se ramène à la résolution de (E') sur ]-, +[ : y''-y'+y=0

Merci par avance pour votre aide.

Posté par
Priamre : Équations différentielles avec changement de variable 19-03-18 à 22:35

Tu pourrais chercher à exprimer  y" en fonction de dy/dt , d²y/dt² et t , après avoir exprimé  y' en fonction de dy/dt et t .

Posté par
VinCEnZoore : Équations différentielles avec changement de variable 19-03-18 à 22:42

Bonsoir @Priam,
Tout d'abord merci de m'avoir répondu.
J'ai lu ton explication mais je t'avoue que je ne vois pas vraiment où est ce qu'on peux arriver en utilisant ça.
Pourrait tu m'eclairer un peu plus s'il te plaît ?

Posté par
larrechre : Équations différentielles avec changement de variable 19-03-18 à 23:02

Bonsoir,

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dt}

Puis, de la même façon , calculer   \dfrac{d^2y}{dx^2}

Posté par
jsvdbre : Équations différentielles avec changement de variable 19-03-18 à 23:02

Bonjour VinCEnZoo.

On a (\forall x)(\forall t)((x \in \R^*_+\text{ et } t = \ln(x)) \Leftrightarrow (t \in \R \text{ et } x = e^t))

Pose alors pour t \in \R, g(t) = y(e^t).

Dérive deux fois g et observe ce qu'il se passe.

Posté par
VinCEnZoore : Équations différentielles avec changement de variable 19-03-18 à 23:24

Que vaut y(et) ? Est y*et ou la fonction y de et?

Posté par
jsvdbre : Équations différentielles avec changement de variable 20-03-18 à 00:34

Comme y est une fonction, il n'y a aucune ambiguïté : g(t) = y(e^t) = (y \circ \exp)(t)

Posté par
carpediemre : Équations différentielles avec changement de variable 20-03-18 à 11:23

VinCEnZoo @ 19-03-2018 à 23:24

Que vaut y(et) ? Est y*et ou la fonction y de et?
un peu de sérieux en math spé !!!

connais-tu les fonctions composées ?


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