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équations différentielles, Bernoulli
Bonjour, j'ai un exercice de Bernoulli, ayant je crois des équations différentielles. J'aurais besoin d'aide si vous pouvez, sachant que j'ai bien sûr essayé en amont. Merci
Voici l'énoncé :
Au 18ème siècle, Daniel Bernoulli étudie l'impact de la variole sur une population initiale 𝑆(0).
À un instant donné 𝑡, il considère que le nombre 𝑆(𝑡) de personnes décédées (fourni par les tables de mortalité)
et le nombre 𝑀(𝑡) des personnes susceptibles d'avoir la variole.
En utilisant les hypothèses de Bernoulli et en supposant que le nombre de décès pour d'autres causes que la
variole est, à un instant donné, proportionnel (coefficient 𝑘(𝑡) à la population concernée), on admettra que l'on
peut modéliser la situation par les deux équations :
S'(t) = 1/64M(t) - k(t)S(t)
M'(t) = -1/8M(t) - k(t)M(t)
S(0) = M(0)
1) On considère la fonction f telle que f(t) = M(t) / S(t). Que représente f(t) ?
Pour moi, f(t) représente les personnes décédées parmi les cas susceptibles de variole.
2) On considère la fonction g telle que g(t) = 1/f(t)
a) Démontrer que f'(t) = -1/8f(t) + 1/64(f(t))^2 f(0) = 1.
J'ai essayé de voir des dérivations en calculant, mais je crois que ce sont des composées, et je n'ai pas réussi à trouver le résultat.
b) En déduire les expressions de g(t), puis de f(t).
3) On trouve dans l'ouvrage de Bernoulli, une table dont on peut extraire le tableau suivant :
Vérifier la pertinence de la modélisation proposée.
Pour 2) , on a f=M/S
Donc f'=(M'S-MS')/S2
Si tu calcules correctement, tu trouveras ce qui est proposé.
Au fait, dans l'énoncé, ce sont les personnes non décédées de la variole.
De plus, la fonction g me perturbe dans mes calculs et je ne vois pas trop quoi remplacer par f(t) sachant qu'on ne la connaît pas.
alma78
Pour l'instant la fonction g(t) ne sert pas. (elle servira pour le 2 b)
Concentre toi sur la question "Démontrer que f'(t) = -1/8f(t) + 1/64(f(t))^2 f(0) = 1."
je t'ai donné une indication à 14:53
En suivant ta formule, j'ai réussi à simplifier les S(t), j'ai donc trouvé :
-1/8M(t) + 1/64M(t)^2
= -1/8f(t) + 1/64f(t)^2
alma78
Alors j'ai d'abord fait :
(-1/8M(t) - K(t)M(t)) * S(t) - (M(t)*(1/64M(t)) - K(t)S(t))
le tout divisé par S(t)^2
ensuite cela donne en simplifiant les S(t) :
-1/8M(t) - K(t)M(t) + 1/64M(t)^2 + K(t)M(t)
= -1/8M(t) + 1/64M(t)^2
= -1/8f(t) + 1/64f(t)^2
Tu as triché !
tu as écrit - (M(t)*(1/64M(t)) - K(t)S(t)) = + 1/64M(t)^2 + K(t)M(t)
Le résultat doit bien être + 1/64M(t)^2 + K(t)M(t) ce qui signifie que l'énoncé qui dit "S'(t) = 1/64M(t) - k(t)S(t)" est faux.
Cela devrait être "S'(t) = -1/64M(t) - k(t)S(t)".
Peux-tu vérifier l'énoncé stp ?
Ça ne fait rien. On va continuer avec ce qu'on te demande, à savoir :
f'(t) = -1/8f(t) + 1/64(f(t))^2
Il faut maintenant que tu trouves la fonction g(t). Pour cela tu dois d'abord trouver l'équation différentielle g'(t)= quelque chose
Sers toi de g=1/f et de f' = -1/8*f + 1/64*f^2
Je pense que c'est ça, j'ai trouvé :
g = 1/f donc g' = -u/u^2 = -f'/f^2
donc
g' = -(-1/8f + 1/64f^2) / f^2
g' = -1/8f + 1/64
Je pense que c'est ça, j'ai trouvé :
g = 1/f donc g' = -u/u^2 = -f'/f^2 le u ne sert à rien
donc
g' = -(-1/8f + 1/64f^2) / f^2. Oui
g' = -1/8f + 1/64 non. Tu as oublié le - devant la parenthèse. De plus (1/8f)/f2 ça ne fait pas 1/8f mais (1/8)*(1/f)
Ah oui j'ai pas fait gaffe,
du coup
g' = 1/8*1/f + 1/64 ? Ben non. C'est pas +1/64 mais -1/64. De plus remplace 1/f par g
C'est donc de la forme y'=ay+b
Tu dois savoir résoudre pour trouver g(t).
N'oublie pas la condition initiale g(0)= ?
Combien trouves tu pour g(t) ?
g(0) = 1
g' = 1/8g - 1/64 soit y' = 1/8y - 1/64
g(t) = Ke^at - b/a -b/a = -(-1/64)/1/8 = 1/8
g(t) = Ke^1/8t +1/8
Attention lorsque tu écris 1/8t ; on ne sait pas si t est au dénominateur ou au numérateur.
Il faut écrire (1/8)*t ou t/8
Avec g(0) = 1,
g = 1 quand t = 0
g(0)=Ke^0/8 + 1/8
= K + 1/8
K = g(0) - 1/8
= 1 - 1/8
= 7/8
donc g(t) = 7/8*e^t/8 + 1/8 ?
Cela donne
1/((7/8*e^t/8)+1/8)
mais j'ai du mal pour les calculs avec exponentielle,
je pensais à enlever le 1 en faisant e^-t/8
Tu dois écrire, après réduction au même dénominateur, f(t)= 8/(7et/8 +1)
Tu peux le laisser comme ça.
Maintenant pour la question 3, as-tu des idées ?
Je vois pour la question 3, que t représente f(t).
C'est son évolution
Et je pense qu'il faut calculer un écart type pour vérifier le tableur .
NON ! t c'est la variable en nombre d'années.
f(t) n'est pas calculé.
L'écart type est faisable mais trop compliqué ici.
Contente toi de calculer f(t) comme étant d'une part le rapport M(t)/S(t) et d'autre part la fonction 8/(7et/8 +1)
Tu sais utiliser un tableur ?
Calcule les 2 cas à 10-3 et tu pourras conclure facilement (je pense).
Moi, j'ai fait ça (voir plus bas). Dis moi ce que tu peux en conclure sur « la modélisation proposée par Bernoulli est-elle correcte ? »
Oui, c'est ça. Par contre si tu regardes de plus près, on ne peut pas dire que les les valeurs sont identiques car certaines sont légèrement différentes. Par exemple pour t=3, t=7 on a une différence sur le 3ème chiffre après la virgule. Donc on peut dire que les valeurs sont proches à 10-3 près. Ce qui permet effectivement de conclure que le modèle proposé par Bernoulli est excellent.
Pour rebondir sur le texte de l'énoncé quant à la valeur de S'(t), je suis allé voir sur le net et je confirme qu'il y a bien un - devant 1/64M(t).
Voir ci joint :
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