Bonjour, j'ai un exercice de Bernoulli, ayant je crois des équations différentielles. J'aurais besoin d'aide si vous pouvez, sachant que j'ai bien sûr essayé en amont. Merci
Voici l'énoncé :
Au 18ème siècle, Daniel Bernoulli étudie l'impact de la variole sur une population initiale 𝑆(0).
À un instant donné 𝑡, il considère que le nombre 𝑆(𝑡) de personnes décédées (fourni par les tables de mortalité)
et le nombre 𝑀(𝑡) des personnes susceptibles d'avoir la variole.
En utilisant les hypothèses de Bernoulli et en supposant que le nombre de décès pour d'autres causes que la
variole est, à un instant donné, proportionnel (coefficient 𝑘(𝑡) à la population concernée), on admettra que l'on
peut modéliser la situation par les deux équations :
S'(t) = 1/64M(t) - k(t)S(t)
M'(t) = -1/8M(t) - k(t)M(t)
S(0) = M(0)
1) On considère la fonction f telle que f(t) = M(t) / S(t). Que représente f(t) ?
Pour moi, f(t) représente les personnes décédées parmi les cas susceptibles de variole.
2) On considère la fonction g telle que g(t) = 1/f(t)
a) Démontrer que f'(t) = -1/8f(t) + 1/64(f(t))^2 f(0) = 1.
J'ai essayé de voir des dérivations en calculant, mais je crois que ce sont des composées, et je n'ai pas réussi à trouver le résultat.
b) En déduire les expressions de g(t), puis de f(t).
3) On trouve dans l'ouvrage de Bernoulli, une table dont on peut extraire le tableau suivant :
Vérifier la pertinence de la modélisation proposée.