Niveau terminale

équations différentielles C

Posté par
Nelcar 19-03-21 à 09:12

Bonjour,
voici un autre exercice à savoir :
Soit l'équation différentielle (E) : y'+y=e^-x
1) résoudre l'équation différentielle (E'): y'+y=0
2) soit a un réel et u la fonction définie sur par u(x)=axe^-x
déterminer a pour que u soit solution de l'équation (E)
3) En déduire toutes les solutions de l'équation (E)
4)  Déterminer la fonction, solution de (E), qui s'annule en 0

Voici ce que j'ai fait :
1)y=Ce^-x
2)u(x)= (ax+b)e^x
je calcule la dérivée
v(x)= ax                      v'(x)=a
w(x)=e^-x               w'(x)=-e^-x
u'(x)= ae^-x + (ax)-e^-x
  u'(x)+u(x)=ae^-x -axe^-x + axe^-x = e^-x
a=e^-x/e^-x=1
donc u(x)=xe^-x
3) solution générale de y'+y=0  donc a =-1
les solution sont f(x)=Ce^-x  avec C
donc solution générale de (E) sont les fonctions xe^-x + Ce^-x=(x+C)e^-x
4) (x+C)e^-x=0   C=1             f(x)=xe^-x

MERCI

Posté par re : équations différentielles C 19-03-21 à 12:54

Bonjour Nelcar

question 1  oui
question 2 pourquoi prendre $(ax+b)$ on ne considérait que $a$

$v(x)=ax \quad v'(x)= a$

$w(x)=\text{e}^{-x}  \qquad w'(x)=-\text{e}^{-x}$

$u'(x)= a\text{e}^{-x}-ax\text{e}^{-x}=(-ax+a)\text{e}^{-x}$

$u'(x)+u(x)=( -ax+a+ax)\text{e}^{-x}=a\text{e}^{-x}$   En identifiant a=1

Question 3 $y(x)= C\text{e}^{-x}+x\text{e}^{-x}=(C+x)\text{e}^{-x}$

$C=0$

Posté par re : équations différentielles C 19-03-21 à 13:15

bonjour Hekla,

donc ce que j'ai fait pour 1 et 2 c'était bon

pour la 3 j'avais bien y(x)= (C+x)e^-x
mais j'ai fait une erreur pour C donc c'est bien C=0

et pour la question 4 j'ai fait
(x+C)e-x=0 C=0 f(x)=xe-x

MERCI

Posté par re : équations différentielles C 19-03-21 à 13:27

Non, il n'y a pas d'erreurs

Il vaut mieux faire l'identification que le quotient. Vous n'avez d'ailleurs pas précisé que pour tout $x$ , c'était non nul

C=0 correspond à la question 4 et pas avant Vous avez oublié AltGR9 ^ ou la mise en exposant

Posté par re : équations différentielles C 19-03-21 à 17:31

OK
donc la question 4
est
(x+C)e^-x=0 C=0 f(x)=xe^-x

c'est bien ça ?

MERCI

Posté par re : équations différentielles C 19-03-21 à 17:36

Plus précisément $f(0)=(0+C)\text{e}^0=0$ d'où $C=0$

la fonction $f$ solution de E vérifiant $f(0)=0$ est la fonction définie par $f(x)=x\text{e}^{-x}$

Posté par re : équations différentielles C 19-03-21 à 17:59

OK

MERCI BEAUCOUP

Posté par re : équations différentielles C 19-03-21 à 18:02

De rien

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