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equations différentielles cycliste

Posté par
Nelcar 09-03-21 à 13:44

Bonjour,
voici un exercice que je dois faire :
Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v(t) sa vitesse à l'instant t, où t est exprimé en secondes et v(t) en mètres par seconde. On suppose que la fonction v est définie et dérivable sur [0;+infini[
Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l'équation différentielle 10v'(t)+v(t)=30
On suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle.
1) démontrer que v(t)= 30(1-e^-1/10)
2a) déterminer
le sens de variation de la fonction v sur [0;+infini[
b)  déterminer la limite de v en -infini
3) on considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v't() est inférieure à 0,1m.s $-2
déterminer à la seconde près, la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée
(ici je n'ai pas le corrigé)

je commence :
1)j'ai calculé v'(t)=(-v(t)+30)/10
mais après je coince

MERCI

Posté par
Priamre : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 15:01

Bonjour,
1) L'expression à démontrer pour v(t) est incorrecte, car elle ne contient pas  t .

Posté par
Nelcarre : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 15:42

En effet Priam j'ai mal écrit
il faut lire v(t)= 30(1-e^-t/10)   : c'était t au lieu de 1 désolée

MERCI

Posté par
heklare : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 15:52

Vous en avez déjà résolu quelques-unes

y'=ay+b  y=C\text{e}^at-\dfrac{b}{a}

Posté par
heklare : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 15:55

\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}

Posté par
Nelcarre : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 16:23

oui hekla je suis d'accord sur ce que tu mets mais je n'arrive pas pareil

10 v'(t)+v(t)=30
10v'(t)=-v(t)+30
a=-1  b=60
e qui me donne
v'(t)= Ce^(-1t)-30/-1   le tout divisé par 10

v'(t)= Ce^(-1t) /10 +3

MERCI

Posté par
heklare : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 16:31

Il faut se ramener à ce que l'on connaît

ici forme y'+ay=b d'où y=C\text{e}^{-ax}-\dfrac{b}{a}

10v'(t)+v(t)= 30  si l'on se rapporte à la forme usuelle on a

v'(t)+\dfrac{1}{10}v(t)=3  on a alors a=\dfrac{1}{10} $ et$  b =3

v(t)= C\text{e}^{-t/10}-30

Pour déterminer C on a v(0)=0

Posté par
Nelcarre : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 16:45

ah !
il faut donc garder la valeur de a dans le premier membre je ne sais pas pourquoi je pensais qu'il fallait le mettre dans le deuxième membre.

Donc v(0) =0  
Ce^0-30=0
C=30


donc v(t)=( e^(t/10) -1)30

MERCI

Posté par
heklare : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 17:04

Faut faire un choix  

si vous considérez avoir y'+ay=b alors on a y=C\text{e}^{-ax}-\dfrac{b}{-a}

si vous considérez avoir y'=ry+s alors on a y=C\text{e}^{rx}-\dfrac{s}{r}

J'ai dû faie une erreur de signes dans le messssageprécédent

On obtient ici v(t)= C\text{e}^{-t/10}+30

v(0)=0 \quad C+30=0 donc C=-30

v(t)= -30\text{e}^{-t/10}+30=30(1-\text{e}^{-t/10})

Posté par
Nelcarre : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 17:10

ok donc on prend bien pour a -1/10

pour ta dernière ligne
j'ai bien v(t) -30e^(t/10) +30
je met en facteur  30(-1+e^(t/10)   je n'ai pas les mêmes signes , on peut inverser ?
Merci de m'expliquer

MERCI

Posté par
heklare : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 17:24

En partant de y'=ry+s les solutions de l'équa diff sont y=C\text{e}^{rt}-\dfrac{r}{s}

D'accord ?

10v'(t)+v(t)=30 \iff v'(t) =-\dfrac{1}{10}v(t)+3  ce qui donne par identification r=-\dfrac{1}{10} $  et $ s=3

D'accord  ?

J'applique le résultat ci-dessus

v(t)=C\text{e}^{-t/10}-\dfrac{3}{-\frac{1}{10}}

en simplifiant

v(t)=C\text{e}^{-t/10}+30  

v(0)=0,\quad C+30=0 d'où C=-30 en reportant

v(t)=-30\text{e}^{-t/10}+30=30(1-\text{e}^{-t/10})  

Posté par
Nelcarre : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 17:49

oui ok jusque
v(t)= -30e(^t/10)+30  là ok
après tu mets 30 en facteur (donc tu as pris le 30 de la fin donc
30(1-e^t/10)

ok je n'avais pas bien vu tout compte fait


pour la 2a) je dérive v'(t)=(-v(t)+30)/10= -v(t)/10 + 30/10
v'(t)=-0,1v(t) +3  

bon ben je me suis perdue, ça coince

MERCI

Posté par
heklare : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 17:58

Vous venez de déterminer v

v(t)=30(1-\text{e}^{-t/10}) c'est de la forme ku  donc la dérivée est ku' avec k=30 et u(t)=1-\text{}^{-t/10}

on a alors u'(t)=-(-\dfrac{1}{10})\text{e}^{-t/10}=\dfrac{1}{10}\text{e}^{-t/10}

v'(t)=3\text{e}^{-t/10}

Posté par
heklare : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 17:59

u(t)=1-\text{e}^{-t/10}  oubli de e

Posté par
Nelcarre : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 18:11

donc la dérivée est positive sur [0;+ infini[ donc la fonction est croissante sur cet intervalle

4b)
limite  de la fonction v en + l'infini
lim -t/10= - infini
lim  e ^-t/10=0
lim 1-e^t/10=1
lim 30*(1-e^t/10)=30
donc lim v(t)=30

4) v'(t)=3e^-(t/10)
3e^-(t/10)<1/10  
e^(t/10)<1/30
-t/10<ln(1/30)
t>-10*ln(1/30)
donc -10*ln(1/30) est environ 35 secondes

MERCI

Posté par
heklare : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 18:28

Bien  
Cela veut dire qu'à +infty  il va rouler  à  108 km/h à vélo !

v'(t)<0,1

3\text{e}^{-t/10}<0,1
\\ \text{e}^{-t/10}<\dfrac{1}{30}

-\dfrac{t}{10}<-\ln (30)

t>10\ln 30


Bien mais vous pouvez simplifier

Posté par
Nelcarre : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 20:01

ah :
donc t>10 ln 30   ça fait environ 34  donc ça fait 3,4 m.s

MERCI

Posté par
heklare : equations différentielles cycliste 09-03-21 à 20:22

Non  votre dernière réponse est étonnante  vous cherchez un temps  et vous répondez vitesse
Vous l'avez  fait correctement à 18: 11 et maintenant non !
Il faut garder confiance en vous

vous aviez  \ln \left(\dfrac{1}{30} \right)   donc directement on écrit -\ln 30

une dernière remarque : faites un peu plus attention, il y a des -  qui jouent un peu à cache-cache

À demain  

Posté par
Nelcarre : equations différentielles cycliste 10-03-21 à 08:39

Bonjour hekla,
et oui par moment je ne sais plus et je mélange les pinceaux.

MERI ENCORE POUR TOUT


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