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équations diophantiennes

Posté par
Krayz 15-04-18 à 17:26

Bonjour,

Autre question : Concernant les équations diophantiennes de la forme ax+by=c :

1) Indiquer si l'équation admet au moins une solution.

Peut-on affirmer directement que si PGCD(a,b)\neq0 alors l'équation n'admet aucun couple (x,y) solution.

Est-ce suffisant ?

*** message déplacé ***

Posté par
Krayzre : Intégration par parties 15-04-18 à 18:14

Mon message a dû se perdre en route.

(désolé du up)

*** message déplacé *** il se perdrait moins si tu ne posais qu'une question par topic ***

Posté par
lakere : équations diophantiennes 15-04-18 à 19:06

Bonjour,

Oh!!!

Un PGCD est rarement égal à 0

Une question: tu divises souvent par 0 ?

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 15-04-18 à 19:23

Faute de frappe.
Je voulais écrire 1*

Posté par
lakere : équations diophantiennes 15-04-18 à 19:26

4x-2y=2

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 15-04-18 à 19:50

lake @ 15-04-2018 à 19:26

4x-2y=2


\Longleftrightarrow 2x-y=1 \\ PGCD(2;-1)=1

Posté par
lakere : équations diophantiennes 15-04-18 à 19:56

Et alors ?

Krayz, j' ai répondu à ta question, à savoir:

Citation :
Concernant les équations diophantiennes de la forme ax+by=c :
Peut-on affirmer directement que si PGCD(a,b)\neq1 alors l'équation n'admet aucun couple (x,y) solution.


Et la réponse est « non ».

Si tu as une autre question, je suis à ta disposition.

Posté par
Krayzre : Ensemble 16-04-18 à 19:54

Bonsoir,

Avez-vous des conseils pour les notions de PGCD, équations diophantiennes ?

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Ensemble 16-04-18 à 20:06



*** message déplacé ***

Posté par
Krayzre : Ensemble 16-04-18 à 20:07

J'ai sûrement mal posé ma question

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Ensemble 16-04-18 à 20:09

Krayz, tu as l'art de mélanger les sujets....il y a un sujet sur les équations diophantiennes à ton nom....

*** message déplacé ***

Posté par
Krayzre : Ensemble 16-04-18 à 20:12

C'est pour éviter de recréer un sujet... bref j'ai trouvé réponse à ma question.

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Ensemble 16-04-18 à 20:14

c'était pour dire que ta question trouvait sa place tout naturellement dans l'autre sujet
plutôt qu'ici

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : Ensemble 16-04-18 à 20:27

Bonsoir,

J'avais vu mais laissé courir.

malou a les yeux partout



*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : équations diophantiennes 16-04-18 à 20:31


bonjour lake !
du coup j'ai bougé l'ensemble

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 20:31

Bonsoir tout le monde

Posté par
lakere : équations diophantiennes 16-04-18 à 20:36

Et du coup, je me retrouve en première ligne! Je n'avais pas prévu Ça m'apprendra.

Krayz, je me vois mal répondre à une question aussi générale.

Mais je te le redis: je suis à ta disposition pour une question plus précise sur les équations diophantiennes.

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 20:40

Bonsoir lake,

Lorsque l'on est amené à résoudre une équation diophantienne, la première question est toujours la même : « Justifier que l'équation diophantienne (de la forme ax+by+c) admet un couple d'entiers  comme solution puis donner une solution particulière ».

Peut-on exprimer x en fonction de y et de c afin de trouver par « tâtonnement » une solution ?

Posté par
malou Webmasterre : équations diophantiennes 16-04-18 à 20:40

Krayz @ 16-04-2018 à 19:54

Bonsoir,

Avez-vous des conseils pour les notions de PGCD, équations diophantiennes ?

*** message déplacé ***


je décode ? y aurait-il un DS qui se prépare et tu te demandes ce qu'il faut ne pas oublier pour réussir, c'est ça ?

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 20:42

malou @ 16-04-2018 à 20:40

Krayz @ 16-04-2018 à 19:54

Bonsoir,

Avez-vous des conseils pour les notions de PGCD, équations diophantiennes ?

*** message déplacé ***


je décode ? y aurait-il un DS qui se prépare et tu te demandes ce qu'il faut ne pas oublier pour réussir, c'est ça ?


Absolument

Posté par
lakere : équations diophantiennes 16-04-18 à 20:49

>> krayz,

Je te propose une démarche:

Les équations dites diophantiennes ne se limitent pas aux équations en entiers du type:

  ax+by=c

Mais si c'est celles ci qui te causent des soucis, postes en une particulière aussi tordue soit-elle et nous la résoudrons ensemble. Je pense que tu pourras apprendre quelques « tours de main » en cours de route.

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 20:57

Elles ne me causent pas de soucis en particulier mais je souhaiterai avoir quelques astuces

Exemple :

(E) : 189x+255y=3

Posté par
lakere : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:04

On peut déjà diviser par 3:

63x+85y=1

63 et 85 sont premiers entre eux donc le théorème de Bachet Bezout nous assure qu'il existe (au moins) une solution à cette équation.

Il s'agit maintenant de trouver une solution particulière. L'algorithme d'Euclide permet d'y parvenir à coup sur.

Sais-tu comment t'y prendre?

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:08

lake @ 16-04-2018 à 21:04

Il s?agit maintenant de trouver une solution particulière.


En effet, l'algorithme d'Euclide permet d'y parvenir à coup sur, et oui je sais comment m'y prendre. Seulement, surgit ici ma question :

Citation :
Peut-on exprimer x en fonction de y et de c afin de trouver par « tâtonnement » une solution ?

Posté par
lakere : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:23

Je ne pense pas; mais pourquoi voudrais-tu procéder "par tatonnements" ?

Avec l'algorithme d'Euclide, j'ai mis deux minutes (j'ai déménagé de la tablette au PC entre temps ) pour trouver la solution particulière (x_0,y_0)=(27,-20)

Que veux-tu de plus ?

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:27

Honnêtement, j'adore l'algorithme d'Euclide et le remonter

Donc en effet c'est la meilleure façon de faire à mon sens.

Posté par
lakere : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:29

Mais c'est certain bien sur!

Sauf dans des cas du genre 3x-2y=1 où une solution particulière nous saute à la figure

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:29

Lorsque l'on demande les solutions, je sais comment faire.

A un moment on va avoir du k et du k' (est-il vraiment nécessaire de démontrer que k=k')

PS : si tu ne m'as pas compris je rédige en détails la résolution de l'équation.

Posté par
lakere : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:42

Si, si, j' ai parfaitement compris. Mais je procède de manière à ne pas avoir de k':

  On a donc ici:

  63x+85y=1

  63\times 27 +85\times (-20)=1

Puis par différence:

  63(x-27)=-85(y+20)  (1)

85 est premier avec 63 donc d'après Gauss, 85 divise x-27

Il existe donc k entier tel que x=27+85k

  On remplace x-27 par 85 k dans (1) pour obtenir:

  63\times 85 k=-85(y+20)

d' où l'on déduit:

  y=-20-63k

Enfin, réciproquement, on vérifie que le couple (27+85k,-20-63k) est bien solution de l'équation de départ:
  
63(27+85k)+85(-20-63k)=1

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:50

Super, merci !

Voilà une astuce que je recherchai !

PS : DS demain (j'ai absolument tout compris, ce sujet a été créé dans l'optique d'avoir des astuces).

Posté par
lakere : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:52

Je me doutais bien que tu apprendrais une bricole ou deux...

N'oublie jamais la réciproque!

Bon DS!

Posté par
carpediemre : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:53

Krayz @ 16-04-2018 à 21:27

Honnêtement, j'adore l'algorithme d'Euclide et le remonter

Donc en effet c'est la meilleure façon de faire à mon sens.
bof ...

je l'enseigne car il est au programme ... mais ne l'utilise que rarement

63x + 85y = 1 \iff 63(x + y) + 22y = 1 \iff 21(3x +4y) + y = 1

une solution est donné par le système \left\lbrace\begin{matrix} 3x + 4y = 1\\y = -20 \end{matrix}\right.

pour info : toutes les transformations correspondent à des produits de matrices inversibles dans Z (donc de déterminant 1)



PS1 : si tu as déjà vu les matrices

PS2 : ça évite de remonter l'algorithme d'Euclide qui marche par implication : "si ... alors ..." alors que les équivalences assurent l'aller-retour (donc sans avoir à faire le retour) parce que les matrices sont inversibles justement !!!

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 21:56

lake @ 16-04-2018 à 21:52

Bon DS!


Alors là carpediem... chapeau !

Méthode regroupant à la fois une nouvelle technique et les matrices !
Il faut que je la sorte absolument !

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:00

carpediem @ 16-04-2018 à 21:53

63x + 85y = 1 \iff 63(x + y) + 22y = 1 \iff 21(3x +4y) + y = 1


Pas très naturel de factoriser par 21 non ?

Posté par
lakere : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:13

C'est sûr; quand on a une solution particulière sous les yeux, ça facilite le bricolage

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:18

Hum.. ?

Posté par
carpediemre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:19

pour info : la première équivalence correspond à :

1 = \begin{pmatrix} 63 & 85 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 63 & 85 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &1 \\0 &1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 63 & 21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x + y\\ y \end{pmatrix}

évidemment je ne calcule jamais l'inverse de la matrice car je calcule de tête directement le résultat

ici cet inverse est évidemment

1 0
-1 1

en fait je multiplie par P^{-1}P = I

donc je ne fais rien ... mais intelligemment ...

Posté par
carpediemre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:21

Krayz @ 16-04-2018 à 22:00

carpediem @ 16-04-2018 à 21:53

63x + 85y = 1 \iff 63(x + y) + 22y = 1 \iff 21(3x +4y) + y = 1


Pas très naturel de factoriser par 21 non ?


soyons sérieux !!!

dans 85 il y a évidemment 63 ... trivialement multiple de 21

il reste 22 trivialement = 21 + 1

Posté par
carpediemre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:27

lake @ 16-04-2018 à 22:13

C'est sûr; quand on a une solution particulière sous les yeux, ça facilite le bricolage

surement pas ...

et je l'ai montré à de très nombreuses reprises sur ce site ...

encore faut-il être entraîné en calcul mental ... ce qui est naturel quand on ne se sert pas de sa calculatrice pour calculer 2 + 2 ... et beaucoup plus compliqué par la suite ...

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:28

Compris, merci à vous

Posté par
carpediemre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:29

de rien

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:32

Cependant, je pense que le prof° nous imposera dans la consigne "déterminer un couple... algorithme d'Euclide".

Posté par
carpediemre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:39

bien sur il faut suivre les consignes données ...

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 16-04-18 à 22:41

Bonne soirée

Posté par
carpediemre : équations diophantiennes 17-04-18 à 09:36

bonne journée

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 18-04-18 à 20:21

J'ai eu celle-ci :

51x-26y=1

Posté par
carpediemre : équations diophantiennes 18-04-18 à 21:21

trop facile ...

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 18-04-18 à 21:22

C'était le bac Antilles Guyane 2015 avec quelques questions en plus

Posté par
lakere : équations diophantiennes 18-04-18 à 22:51

Je suppose que tu as du t'en tirer ?

Posté par
Krayzre : équations diophantiennes 18-04-18 à 23:21

Oui, dans l'ensemble du contrôle

(PGCD & dioph)

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