Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Equations et complexes

Posté par
gui_tou 07-09-07 à 21:58

Bonsoir à tous

Sur un exercice, je bloque sur un point. Si vous pouviez m'aider je vous en serais très reconnaissant

Citation :
Soient 4$ p,q \in \mathbb{C^{\ast}}. On pose : (E) : 5$z^2-2pz+q=0 où 4$z\in\mathbb{C}. On note 3$z_1 et 3$z_2 les solutions de (E).

1.Donner la valeur de 4$(z_1+z_2) et 4$z_1.z_2 en fonction de 3$p et de 3$q.

Pas de problème : 4$(z_1+z_2)=2p et 4$z_1.z_2=q.

Jusque là, pas (trop ) de soucis.

2a. On suppose que : 4$|z_1|=|z_2|. Montrer alors que 4$\frac{p^2}{q}\in]0,1]


J'ai cru bien faire et y arriver facilement.

4$|z_1|=|z_2|\; \Longleftrightarrow \; z_1=me^{i\theta} et 4$ z_2=me^{i\theta'} avec bien sûr 3$m=|z_1|=|z_2|.

D'après la question 1, on a :

5$\frac{p^2}{q}=\frac{(\frac{z_1+z_2}{2})^2}{z_1.z_2}

5$\frac{p^2}{q}=\frac{\frac{1}{4}(me^{i\theta}+me^{i\theta'})^2}{m^2e^{i(\theta+\theta')}

5$\frac{p^2}{q}=\frac{[2\cos(\frac{\theta'-\theta}{2})e^{i(\frac{\theta+\theta'}{2})]^2}}{4e^{i(\theta+\theta')}}

5$\frac{p^2}{q}=\frac{4\cos^2(\frac{\theta'-\theta}{2})e^{i\theta+\theta'}}{4e^{i(\theta+\theta')}}

Et là bingo,

5$\frac{p^2}{q}=\cos^2(\frac{\theta'-\theta}{2})

Un cosinus élevé au carré est compris dans l'intervalle 3$[0;1]

Seulement moi je veux l'intervalle 3$]0;1], c'est-à-dire que je dois exclure 0.

Autrement dit, je ne dois pas avoir

5$ \frac{\theta'-\theta}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi

Donc il faut au préalable avoir posé la conditon

5$\theta' \not= \theta+\pi+2k\pi avec 4$k\in\mathbb{Z}

On pourrait traduire ça par 3$z_2 \not= -z_1

Où est imposée cette contrainte ?


Merci beaucoup d'avance

Posté par
infophilere : Equations et complexes 07-09-07 à 22:03

Bon juste pour le plaisir de virer au vert

p non nul donc sur ]0,1]

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equations et complexes . 07-09-07 à 22:05

\red\fbox{\fbox{N.B}} Par hypothèse \fbox{p\in\mathbb{C}^*}

Posté par
gui_toure : Equations et complexes 07-09-07 à 22:07

Bonsoir et Merci elhor

Kévin, merci quand même

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equations et complexes . 07-09-07 à 22:14

De rien gui_tou
mais Kévin l'avait déjà remarqué

Posté par
infophilere : Equations et complexes 07-09-07 à 22:17

Posté par
john_kennedyre : Equations et complexes 07-09-07 à 22:38

A vue d'oeil, on pouvait aussi utiliser l'inégalité triangulaire là-dedans non?

Posté par
gui_toure : Equations et complexes 08-09-07 à 19:00

Bonjour à tous

Décidément, ce problème me pose problème

La question 3a m'ennuie :

Citation :
On suppose que : 3$\arg(z_1) \, =\, \arg(z_2). Montrer que : 3$\frac{p^2}{q}\,\in \]0;1]


En posant cette fois 3$z_1=me^{i\theta} et 3$z_2=m'e^{i\theta}, je tombe sur :

5$\frac{p^2}{q}=\frac{(m+m')^2}{4mm'}

Comment montrer que c'est compris ente 0 et 1, avec 0 exclu ?

Remarque :
La question 2b consiste à on montrer la réciproque du 2a.

La dernière question 3b consiste à montrer la réciproque du 3a.
(Histoire d'obtenir des équivalences et non plus des implications)

Donc, pour résoudre la 3a, faut-il se servir du fait que

4$|z_1|=|z_2| \Longleftrightarrow \, \frac{p^2}{q}\,\in \]0;1] ?

Merci pour tout

Posté par
gui_toure : Equations et complexes 08-09-07 à 19:10

A l'aide


Posté par
gui_toure : Equations et complexes 08-09-07 à 21:26

Up

Dois-je le poster dans un autre topic ?

Posté par
gui_toure : Equations et complexes 08-09-07 à 22:12

Un dernier avant d'abandonner.

Posté par
sunrise-57re : Equations et complexes 08-09-07 à 22:34

je suis désolée je ne pense pas que ce soit de mon niveau , je ne suis qu'en 1ere S !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equations et complexes . 08-09-07 à 22:59

Bonsoir ;

Il doit y avoir une erreur car 3$\fbox{arg(z_1)=arg(z_2)\Longleftrightarrow(\exists\lambda\in\mathbb{R}_+^*)\hspace{5}/\hspace{5}z_2=\lambda z_1}

et donc 4$\fbox{\frac{p^2}{q}=\frac{(1+\lambda)^2}{4\lambda}\hspace{5}\in\hspace{5}[1,+\infty[} (sauf erreur)

Posté par
gui_toure : Equations et complexes 08-09-07 à 23:35

Bonsoir Elhor

Effectivement, vous aviez raison, une erreur de ma part il ne s'agit pas de 4$\frac{p^2}{q} mais bien de 4$\magenta\frac{q}{p^2}.

L'intervalle d'arrivée est donc bien 3$]0,1]

Un grand et sincère merci à vous Monsieur Ehlor.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equations et complexes . 08-09-07 à 23:57

De rien gui_tou

Posté par
gui_toure : Equations et complexes 08-09-07 à 23:59

Si vraiment, j'insiste, je vous dois une fière chandelle Elhor

Posté par
infophilere : Equations et complexes 09-09-07 à 00:02

Hello guitou ! Alors le DM bientôt fini ?

J'ai rédigé le mien toute la soirée et je n'ai pas encore fini

Pour l'exo où il faut montrer que 3$ \rm \forall n\in \mathbb{N}^{\ast} \Bigsum_{k=1}^{n}|\cos(k)|\ge \frac{n}{4} j'ai fait une démo trop crade

Allez je vais me coucher, à lundi !

Bonsoir ehlor !

Posté par
gui_toure : Equations et complexes 09-09-07 à 00:05

Salut Kévin

Le mien je compte le rédiger aujourd'hui, en espérant qu'il ne soit pas trop faux


Bonne soirée et à lundi. Travaille bien

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equations et complexes . 09-09-07 à 01:03

Bonsoir Kévin

Posté par
gui_toure : Equations et complexes 09-09-07 à 21:21

Bonsoir

J'avoue que je bloque sur la question 3b :

Citation :
On suppose que 4$\frac{q}{p^2}\,\in\,]0;1]. Montrer alors que 4$\arg(z_1)=\arg(z_2)


Je n'ai même pas de piste pour démarrer


Merci pour tout encore une fois

Posté par
gui_toure : Equations et complexes 09-09-07 à 21:31

Tant pis


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !