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equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss)

Posté par
letonio 21-09-05 à 18:45

Bonjour à tous,

J'ai du mal à traiter les équations linéaires avec paramètres, parce que je ne sais pas exactement ce que j'ai le droit de faire et sous quelles conditions. Je m'explique.

      x+    my+     z= 1
(m+1)x+    2y+(m-3)z= -1
(m-1)x       -   3z = -1

      x+    my+     z= 1
      (2- m(m+1))y+ (m-3- m- 1)z= -1 -m-1                L2<--- L2-(m+1) L1
          -m(m-1)y+  (-3-m +1)z= -1 -m+1                    L3<---L3- (m-1)L1

      
x+    my+     z= 1
      (m+2)(-m+1)y-  4z= -(2+ m)            
          -m(m-1)y+  (-2-m)z=  -m

Mon problême se situe d'abord à ce niveau, si je simplifie la ligne 2 en divisant par (m+2) pour pouvoir utiliser (-m+1) comme pivot:

x+     my     +z  = 1
  (-m+1)y- 4z/(m+2)= -(2+m)/(2+m)        L2<--- L2.1/(m+2)
....

Est ce que je peux faire ça sans préciser qu'on a un problème pour m= -2, où l'on n'a pas le droit de faire cette simplification?
Comment est-ce que je dois gérer cette partie?
  

Posté par
letoniore : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 21-09-05 à 19:25

Je me dis qu'on peut peut-être simplement utiliser le pivot (-4) du z de L2, mais j'aimerais quand même avoir une réponse pour ma première question.

Posté par
piepalmre : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 21-09-05 à 19:39

comme tu l'as vu, il faut traiter séparément le cas m=-2

Posté par
letoniore : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 21-09-05 à 20:12

Oui mais est ce que je peux écrire
(m+2)(-m+1)y-  4z= -(2+ m)  

et passer directement à la simplification par (m+2). Il me semble que je ne peux simplifier que dans la dernière ligne une fois que j'aurai une seule inconnue, et que j'aurai dit que dans le cas où m= -2, il n'y a pas de solution. Ca me donne:

x+    my+     z= 1
      (m+2)(-m+1)y-  4z= -(2+ m)            
          -m(m-1)y+  (-2-m)z=  -m

    x+          my+      z= 1
      (m+2)(-m+1)y-     4z= -(2+ m)            
          (-2-m -4m/(m+2)z=  -m +m. (-m)/(m+2)        L3<--- L3+ m.L2/(m+2)

  je trouve

....
.....
((m+2)(m-2))/(m+2) z= -2m(m+2)/(m+2)

1er cas    m=-2

S=

2ème cas  m=2


0z = -4

d'où  S=

3ème cas m différent de {-4,4}...

Ca n'a rien à voir avec la solution qu'on me donne dans mon bouquin (système de Cramer ssi m différent de 1 et + ou - 2i ; compatible ssi m différent de 1)

Le problème est que je ne vois pas du tout où est mon erreur. Est ce que quelqu'un aurait le courage de se lancer dans une correction?



Posté par
letoniore : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 21-09-05 à 22:15

??

Posté par
piepalmre : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 21-09-05 à 23:46

Il me semble que pour m=-2 x=1/3 y=-1/3 et z=0 est solution non?

Posté par
caylusre : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 22-09-05 à 12:52

Bonjour,


1$ \{\array{rcl$x&+&my&+z&&=&1\\(m+1)x&+&2y&+&(m-3)z&=&-1\\(m-1)x&&&-3z&&=&-1}
2$ \{\array{rcl$x&+&my&+&z&=&1\\&&(m-1)(m+2)y&+&4z&=&m+2\\&&m(m-1)y&+&(m+2)z&=&m}

\red \fbox{A. si (m-1)(m+2)=0}
a. si m=1 alors 2$ \{\array{rcl$&x&+&y&+&z&=&1\\&2x&+&2y&-2z&&=&-1\\&&&&&-3z&=&-1}=>2$ \{\array{rcl$&x&+&y&&&=&\frac{2}{3}\\&2x&+&2y&&&=-&\frac{1}{3} \\&&&&&z&=&\frac{1}{3}}=>impossible

b. si m=-2 alors 2$ \{\array{rcl$&x&-&2y&+&z&=&1\\&-x&+&2y&-5z&&=&-1\\&-3x&&&&-3z&=&-1}=>2$\{\array{rcl$&x&=&\frac{1}{3}\\&y&=&-\frac{1}{3}\\&z&=&0}

\red \fbox{A. si (m-1)(m+2)\neq 0 \Longleftrightarrow m\neq 1\,et\, m\neq -2}
alors

2$ \{\array{rcl$&x&+&my&+&z&=&1\\&&&y&+\frac{4}{(m-1)(m+2)}z&&=&\frac{1}{m-1}\\&&&&&(4m^2-5m-2)z&=&0}

si \red \fbox{a.4m^2-5m-2=0}
alors
m_{1-2}=\frac{5\pm\sqrt{57}}{8}=>
2$ \{\array{rcl$&x&=&\frac{3\mp\sqrt{57}}{8}-z\\&&&y&&&=&\alpha+\beta.z} \,avec \alpha=\frac{8}{-3\pm\sqrt57}\,et\,\beta=-\frac{4.8.8}{(-3\pm\sqrt{57})(21\pm\sqrt{57})}
sauf erreur

Posté par
caylusre : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 22-09-05 à 13:03

re,


ça va de soi que j'ai oublié un cas !!!

si m\neq \frac{5\pm\sqrt57}{8} alors
2$ \{\array{rcl$&x&=-&\frac{1}{m-1}\\&y&=&\frac{1}{m-1}\\&z&=&0}

Posté par philoux (invité)re : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 22-09-05 à 13:41

Bonjour

Quel déterminant trouvez-vous ?

Je trouve (m-1)(m²+4)

d'où le 1 et 2i et -2i à traiter à part

Philoux

Posté par
caylusre : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 22-09-05 à 15:21

Bonjour philoux,
Je trouve en effet (m-1)(m²+4) comme déterminant principal.

Il y a donc une énorme connerie dans ce que j'ai écris dans le post précédent.
Je vérifie mes calculs.

Posté par philoux (invité)re : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 22-09-05 à 15:24

Merci caylus

J'avais un doute mais ne sachant pas ce que tu appelais par "A.si" ?

Puis le fait que'Antoine parles de 2i à 20:12...

Philoux

Posté par
caylusre : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 22-09-05 à 15:30

En réalité il faut lire non pas
A.si (m-1)(m+2)<>0 mais

B.si (m-1)(m+2)<>0 [ deuxième cas possible]

Posté par philoux (invité)re : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 22-09-05 à 15:31

?

Philoux

Posté par
caylusre : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 22-09-05 à 15:48


J'ai vérifié : la partie A est correcte.

Reste le B (m-1<>0 et m+2<>0)

Mais, je retourne à la maison : c'est donc pour ce soir.
@+

Posté par
caylusre : equations linéaires avec paramètre (pivot de Gauss) 22-09-05 à 19:48

Bonsoir,

mon erreur était le coefficient de z: m^2+4\,\,au\,lieu\,de\,4m^2-5m-2



\red\fbox{B.\,si (m-1)(m+2)\neq 0 \Longleftrightarrow m\neq\,0 et m \neq\,0}

2$\{\array{x&+my&+z&=&1\\&y&+\frac{4}{(m-1)(m+2)}z&=&\frac{1}{m-1}\\&&(m^2+4)z&=&0}

a) si m^2+4=0\Longleftrightarrow m=\pm 2i

2$\{\array{x&\pm 2i.y&+z&=&1\\&y&+\frac{4}{(\pm 2i-1)(\pm 2i +2)}z&=&\frac{1}{\pm 2i-1}\\&&0.z&=&0}=> 2$\{\array{\\0.z&=&0\\y&=&-\frac{1\pm 2i}{5}+\frac{3\pm i}{5}.z\\x&=&\frac{1\pm 2i}{5}+ \frac{-7\pm 6i}{5}.z}   ATTENTION à vérifier !!!


b) si m^2+4\neq\,0
2$\{\array{\\x&=&-\frac{1}{m-1}\\y&=&\frac{1}{m-1}\\z&=&0 }




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