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Equations paramétriques, barycentre...
Bonjour,
j'ai un exercice à faire et j'aimerais avoir un peu d'aide sur les quelques questions qui me restent.
Voici l'exercice
Soit (O;OA,OB,OC) un repère orthonormal de l'espace.
1)Soit G l'isobarycentre des points A,B,C.
a)Donner les coordonnées du point G
(isobarycentre donc G centre de gravité du triangle mais par quel calcul je peux obtenir ses coordonnées exactes?)
b)Montrer que (OG) est perpendiculaire au plan (ABC)
(si vous pouviez m'aider sur celle-ci aussi)
2)on considère les points A'(2;0;0) B'(0;2;0) et C'(0;0;3) qui déterminent le plan (A'B'C')
a)montrer que l'équation 3x+3y+2z=6 est une équation cartésienne du plan (A'B'C') (=>Ca c'est fait 
)
b)Montrer que le point M appartient à (AC) si et ssi il existe k tel que:
x=1-k ; y=0 ; z=k (=> Ca c'est fait aussi 
)
c)Calculer alors les coordonnées du point K commun à (AC) et au plan (A'B'C')
(=>Ca aussi c'est fait
)
3a)Vérifier que le point L commun à la droite (BC) et au plan (A'B'C') a pour coordonnées (0;4;-3) (=>
Ca aussi...c'est fait!)
b)Montrer que les droites (AB) (A'B') et (KL) sont parallèles.
Caractériser l'intersection des 2 plans (ABC) et (A'B'C') à l'aide des points définis précèdemment.(Besoin d'aide là par contre 
)
Donc voilà Ca parait long mais j'aurais juste besoin d'aide pour les 2ères questions à savoir 1a et 1b ainsi que la dernière(3b)
Merci d'avance
Comme OA, OB, et OC sont les vecteurs du repere.. Il suffit d'exprimer OG en fonction de ces trois vecteurs..
Bonjour,
1)a) tu as A(1;0;0), B(0;1;0) et C(0;0;1).
Posons G(x;y;z). (je ne sais pas comment on fait les flèches pour les vecteurs donc je vais mettre un v)... on a donc vGA(1-x;-y;-z), vGB(-x;1-y;-z) et vGC(-x;-y;1-z). Or G est l'isobarycentre de A, B et C donc on a également vGA+vGB+vGC=v0 où v0(0;0;0)! Tu dois donc résoudres les 3 équations suivantes : 1-x-x-x=0; y+1-y-y=0 et z-z+1-z=0 (conditions nécessaires pour que la relation vGA+vGB+vGC=v0 soit vérifiée).
b) Si tu prouves que vOG est orthogonal à 2 vecteurs directeurs non colinéaires du plan (ABC), tu auras prouvé que (OG) est perpendiculaire à (ABC). Ici, prend les vecteurs vAB et vAC : il est facil de vérifier que vAB et vOG sont orthogonauxaux (par les coordonnées des vecteurs), tout comme pour vAB et vOG! ^^
Pour la 3)b), je ne me rappelle plus trop des méthodes pour ce genre de question (je suis en terminale et la géométrie dans l'espace, c'était au début de l'année donc j'ai eu le temps d'oublier un peu ). Bonne chance! 
Pour le 1a, il est plus simple d'écrire OG=1/3(OA+OB+OC) (définition de l'isobarycentre ),
donc G(1/3,1/3,1/3)
v(AB) a pour coordonnées(0-1,1-0,0-0)
v(AB).v(OG)=-1/3+1/3=0
v(AC) a pour coordonnées(0-1,0-0,1-0)
v(AB).v(OG)=-1/3+1/3=0
LoL je ne connaissais pas cet aspect de la définition... mais en y réfléchissant, c'est tout logique ^^
Merci pour cette simplification, je pense qu'elle me permettra de gagner du temps quand je referais de la géométrie
Il y a deux formules pour les barycentres :
Par exemple pour Gbarucentre de A(1),B(1),C(1)
la première : GA+GB+GC=0
la seconde : quelque soit O, OG=(OA+OB+OC)/(1+1+1)
le tout en vecteur.
Erreur
v(AC).v(OG)=-1/3+1/3=0
Ensuite il suffit d'écrire que A'M=k1.A'B'+k2.A'C'.
On écrit les coordpnnées de tous ces vecteurs et on élimine k1 et k2..
On trouve
x-2=-2.(k1+k2)
y=2.k1
z=3.k2
Ce qui donne le bon résultat pour le plan.
Pour la suite il suffit d'écrire que v(AM)=k.v(AC)
donc:
x-1=-k, soit x=1-k
y=k.0=0
z=k
2.c.
L'intersection doit vérifier les deux conditions (équation du plan et //AC)
3x+3y+2z=6 donne 3(1-k)+2k=6
k=-3, donc le point d'intersection K a pour coordonnées (1-(-3),0,-3) ou (4,0,-3)...
Je fais la même chose pour BM=k.BC
x=0
y=1-k
z=k.
L'intersection avec A'B'C' vérifie 3x+3y+2z=6 , donc 3-3k+2k=6 ou k=-3.
L(0,4,-3).
V(AB) (-1,1,0)
v(A'B') (-2,2,0)
v(KL) (0-4,4-0,-3-(-3)) ou (-4,4,0)
v(KL)=2.v(A'B')=4.v(AB)
Donc les 3 droites sont //.
K appartient à AC et à A'B'C'
donc K appartient à ABC et à A'B'C'
L appartient à BC et à A'B'C'
donc L appartient à ABC et à A'B'C'
KL est donc l'intersection des deux plans.
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