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equations pgcd ?
Bonjour tt le monde,
J'ai un problème pour lequel je ne vois même pas le début d'une piste (en dehors d'un tableau excel, double entrée avec x en colonne, y en ligne... je trouve ça pas très élégant* ) :
2 entiers positifs sont tels que :
- la somme de ces deux nombres et de leur PGCD est 2015
- le triple du pgcd des deux nombres vaut le double de l'un des nombres diminué de l'autre nombre.
Quels sont ces nombres ?
* D'un autre côté, comme c'est un DM de 3e, je me dis que c'est peut-être ce que le prof attendait ??
Bonjour,
on attend peut être aussi de commencer par trouver les diviseurs de 2015 ...
il n'y en a que 8, 1 et 2015 compris
ça va limiter très fortement le "tableau Excel" !
au point de pouvoir le faire à la main.
pourquoi ça ?
parce que si on appelle p le PGCD de a et b alors a = pa' et b = pb', a' et b' étant premiers entre eux
écrire les égalités de l'énoncé en termes de p, a' et b' donne ce que je viens de dire à propos des diviseurs de 2015
et d'une éventuelle équation du premier degré à résoudre pour trouver a', selon les valeurs choisies de p parmi ces 8 diviseurs...
Merci Mathafou, c'est effectivement la solution proposée par le prof...
Tu ne trouves pas ça un peu hard pour des élèves de 3e ?
bof ...
oui c'est "un peu hard" mais pas si dur que ça si on s'y prend bien
si on sait que en appelant p le PGCD de a et b on a : a = pa', b = pb' et le ppcm = pa'b'
avec a' et b' sans facteurs commun (premiers entre eux)
est-ce du programme de 3ème ? j'en doute !
la suite est du calcul élémentaire (factorisation, définition de "diviseurs" etc)
mais je suis parfaitement d'accord sur le fait que même en terminale "il y en a" (beaucoup ?) qui rameront sur cet exo ...
(le ppcm n'est pas dans cet exo, j'ai confondu avec un autre exo récent, et je retire mon "bof", oui c'est parfaitement inhumain de proposer cet exo en 3ème 
)
bonjour,
soit x et y les 2 nbs
- la somme de ces deux nombres et de leur PGCD est 2015
x+y+PGCD(x;y)=2015
PGCD(x;y)=2015-x-y
- le triple du pgcd des deux nombres vaut le double de l'un des nombres diminué de l'autre nombre.
3*PGCD(x;y)=2x-y
3(2015-x-y)=2x-y
6045-3x-3y=2x-y
6045=5x+2y
n'est pas une piste exploitable par un 3ème?
et ensuite tu vas tester les x et y par Excel ?
ça revient au même ..
en 3ème on ne sait pas résoudre une telle équation de Diophante, on ne peut que "essayer des valeurs"
et de toute façon même si on savait la résoudre, il faudrait encore filtrer les solutions qui conviennent en ce qui concerne le PGCD
plus efficace est de dire :
le PGCD divise x et y donc divise la somme x+y+PGCD, donc divise 2015
les diviseurs de 2015 sont :
1 et 2015
5 (plus petit diviseur évident) et 2015/5 = 403
(essais : 7, 11 ne divisent pas)
13 et 2015/13 = 155
403/13 = 31 est un nombre premier, donc le seul autre diviseur premier de 2015, donc
31 et 2015/31 = 65
ce qui donne les 8 diviseurs de 2015 : 1, 5, 13, 31, 65, 155, 403 et 2015
a + b = 2015 - p
2a - b = 3p (énoncé deuxième relation), donc b = 2a - 3p
en substituant b dans la première :
3a = 2015 + 2p
1er essai p = 1 :
3a = 2017 pas de solution
p = 5 :
3a = 2025, a = 675, b = 2a-3p = 1335
il est indispensable de vérifier cette "solution" car on n'a nulle part tenu compte que p soit le plus GRAND diviseur commun de a et b, seulement "un diviseur" :
PGCD(675, 1335) = 15 n'est pas 5, solution rejetée
etc pour les 8 essais (et seulement 8) à faire à la main.
9
j'ai cru comprendre :
en dehors d'un tableau excel, double entrée avec x en colonne, y en ligne.
que cigale973 s'orientait vers une solution par algoritme
oui, mais un tableau avec environ 1000 lignes (à partir de ton équation 6045/5 = 1209 lignes) ... hum...
quant à l'algorithmique en 3ème re-hum...
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