Bonsoir .   Cercle circonscrit --->   hauteurs .
                Centre de gravité  --->  médianes  
Si les points sont confondus, les hauteurs sont confondues avec les médianes ...

    Ce ne peut être que dans un triangle équilatéral ...

Cercle circonscrit      hauteur??????

Ce n'est pas vraiment une preuve si hypothèses = résultat c'est un peu facile pourquoi si les point sont cnfondues alors hauteurs et médiane sont confondu?

les médiatrices et les médianes ont déjà un point en commun (par couple de deux bien sur), le milieu du côté par lequel elles passent, donc avec le centre de gravité-circonscrit cela en fait 2, donc elles passent par deux mêmes points donc elles sont confondues deux à deux, donc le triangle est équilatéral

Bonjour.
Soit ABC le triangle équilatéral et H le pied de la perpendiculaire de O sur [BC]
O étant sur la médiatrice de [BC], le triangle OBC est isocèle en O; la hauteur [OH] de ce triangle est également sa médiane et H est sur la médiatrice de [BC] : (OH) est la médiatrice de [BC].
Dans le triangle ABC, la hauteur venant de A passe par O. De O, on ne peut mener qu'une perpendiculaire à [BC]; la hauteur se confond donc avec la médiatrice et A est sur la médiatrice de [BC] : AB = AC.
On démontre de même que AB = BC et que AC = BC.
J'espère ne pas avoir été confus !

Bonjour

Soit un triangle ABC dont l'orthocentre et le centre de gravité  sont confondus en O

O orthocentre (AO) est donc une hauteur , elle est par conséquent perpendiculaire à BC

O est centre de gravité, (AO) est alors  une médiane , elle passe donc par le milieu de BC

(AO ) étant la droite perpendiculaire à BC et passant par son milieu , c'est sa médiatrice

Même raisonnement pour BO et CO

Par conséquent , O appartient aux 3 médiatrices, c'est donc le centre du cercle circonscrit, avec AO : BO = CO

Soit A' le pied de la médiatrice , médiane et hauteur

Comme AA' est médiane et O centre de gravité , OA' = 1/2 AO

Ce qui fait que OA' = OB' = OC' et du fait de l'orthogonalité de OA' et BC , etc . , O est aussi centre du cercle inscrit

Les triangles rectangles BOA' et BOC' étant 2 triangles rectangles ayant 2 côtés respectivement égaux , ils sont isométriques , on en déduit les égalités des demi angles aux sommets et des demi côtés , donc triangle équilatéral et équiangle

Pour prouver que ABC est isocèle en A ;

AO étant la médiatrice ( voir réponse ci dessus , A est équidistante de B et de C

donc AC = AB
le triangle est par conséquent isocèle en A

Idem en B
BA = BC

donc AB = AC = BC