Bonjour,

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preuve constructive (conduisant à la construction effective du/des triangles équilatéraux solution(s))



au voisinage de P, il y a forcément un point de la version "tournée de 60°" (L') qui est à l'intérieur de (L) et un point de (L') à l'extérieur de (L) donc au moins une intersection de (L') et (L) autre que P.

Bravo Mathafou

On voit bien l'intérêt de l'hypothèse "sans point anguleux" en considérant par exemple le sommet d'un angle de 30° dans un triangle . La convexité intervient dans la démonstration pour justifier que le lacet est contenu dans un demi-plan dont la frontière passe par P .

Une question se pose : existe-t-il un point P d'un lacet L sans point anguleux tel que PQR ne soit jamais équilatéral pour toute paire {Q,R} de points de L ?

Imod  

Je précise ma dernière question :

"On considère un point P d'un lacet simple sans point anguleux , existe-t-il toujours deux points Q et R du lacet tels que PQR soit un triangle équilatéral ?"

On pourrait en effet prendre la figure suivante en contre-exemple si on acceptait les points doubles :



Je suis convaincu que la réponse à la question est "oui"  mais bon ...

Peut-être un partage en 6 zones définies par le point P et sa tangente au lacet ?

Imod

    

Bonjour,
J'ai voulu expérimenter et  par exemple j'ai trouvé une solution pour P  et pour P' pris au hasard mais P" me semble introuvable ?

Bonjour Dpi

Si c'est possible , utilise la méthode proposée par Mathafou , tu fais tourner le lacet de 60° autour de P" dans le sens trigo et tu trouves deux points du triangle équilatéral à l'intersection des deux lacets .

Imod

Je pensais que le lacet était fixe....

Le lacet est bien fixe mais on imagine son image par la rotation . Les deux lacets se coupent en P et R et alors PQR est le triangle cherché avec Q l'antécédent de R par la rotation .

Imod

Je viens de voir  ...

pour faire une figure avec Geogebra :
placer quelques points au hasard
définir le lacet à partir de ces points par la commande
L=spline(A,B,C,...,A) (terminer par le 1er point pour avoir une courbe fermée)
on peut déformer à volonté en déplaçant les points, et on peut les cacher.
placer un point sur objet P= Point(L)
se point sera aussi déplaçable en étant astreint à rester sur le lacet
créer l'image du lacet dans la rotation autour de P :
L' = Rotation(L,60°,P)
hélas Geogebra ne sait pas trouver directement les intersections des deux splines, le point R sera donc placé "à la main" sur cette intersection
et Q = Rotation(R,-60°,P)
si on déplace P il faudra aussi déplacer manuellement R, vu que Geogebra ne sait pas calculer directement l'intersection de deux splines, par contre Q suivra automatiquement.

si les courbes sont définies algébriquement, (mais élaborer de telles équations est ... hum...) les calculs d'intersections peuvent être automatiques.