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Équiprobabilité

Posté par
Matheuux
01-12-16 à 13:53

Bonjour,

J'ai beaucoup de mal avec la notion  d'équiprobabilité.
Voici mon exercice :
La roue équilibrée ci-contre est formée de deux secteurs de couleurs différentes violet et rouge) et n'ayant pas la même mesure d'angle (le violet -> 90°)
On fait tourner cette roue et on note, à l'aide de la flèche, la couleur repérée.
1) Quelles sont les issues de cette expérience ?
2) Détermine la probabilité de chacune de ces issues.

Ma question : est-on en situation d'équiprobabilité ?
D'un côté oui, et d'un autre non.

1)Je pensais partager cette roue en quatre secteurs identiques, tous de même mesure 90° : il y aurait donc 3 secteurs rouges et 1 secteur violet.
Il y aurait 4 issues : 3 rouges et 1 violet (alors que si je ne fais pas ce partage, je trouve que deux issues, déjà là je suis perdu...).
On a donc 3 fois plus de chances d'obtenir rouge que violet donc il n'y a pas équiprobabilité.

2) Un autre raisonnement qui contredit le précédent :
On est dans une situation d'équiprobabilité : en effet, si on partage la roue en quatre secteurs identiques (de mesure 90°)  et que l'on ne considère pas sa couleur, chacun a alors autant de chances d'être repéré avec une probabilité égale à  1/4.
Comme un seul des quatre secteurs est violet, la probabilité que la flèche indique le secteur violet est donc égale à  1 /4.
Comme trois des quatre secteurs sont rouges, la probabilité que la flèche indique un secteur rouge est donc égale à  3 /4.

Bref, j'ai besoin de vos lumières car c'est le flou total pour moi.
Merci beaucoup.
PS : Dire que je ne me posais pas toutes ces questions lorsque je travaillais les probabilités dans mes études... à tort peut-être.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 14:27

il n'y a que 2 issues (rouge ou violet) non équiprobables (3/4 et 1/4 comme tu l'as dit), c'est du simple bon sens.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 14:34

Que penses-tu de ma réponse du 2) stp ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 14:38

oui c'est bon (les 4 secteurs sont équiprobables mais les alternatives rouge/violet non) ça ne contredit rien du tout.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 14:46

Merci Glapion.
Donc en fait tout ce que je dis est correct ?
Pourtant il semble y avoir une ambiguïté qui me gène et je ne comprends pas d'où cela vient.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 14:52

je ne vois pas d'ambiguïté ni de contradictions. les probabilités sont proportionnelles à la surface des secteurs. si les secteurs n'ont pas la même surface, ils ne sont pas équiprobables.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 15:16

Donc pour toi, 1) et 2) se complètent et ne se contredisent pas ?

Posté par
carpediem
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 17:24

pas le bon forum ...

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 17:42

Bonsoir,
je dirais que l'on fait tourner la roue d'un angle tel que (mod 2) suive une loi uniforme sur [0 ; 2[.

Ensuite la probabilité pour que la flèche pointe sur un secteur donné est proportionnelle à l'angle de ce secteur.

En gros on est bien dans une situation d'équiprobabilité.

Mais, comme on ne s'intéresse qu'a la couleur du secteur, on peut réduire le modèle en ne considérant que deux événements élémentaires (issues ?) {rouge} et {violet} de probabilités respectives 3/4 et 1/4.

Il faut remarquer que les valeurs 3/4 et 1/4 proviennent de l'équiprobabilité des angles.

Pour des élèves, si, comme je le pense,  ils ne connaissent pas les lois continues, on peut dire qu'il y a un clou tous les degrés, et que la roue s'arrête forcément entre deux clous.  Et que l'on admet que toutes les positions d'arrêt possible sont équiprobables.

Puis on simplifie le modèle de la même façon.


Une dernière remarque : je faisais ça avec mes élèves, mais je ne suis plus vraiment au courant des programmes .

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 17:46

Salut carpediem.
Je pense que c'est le bon forum.
Matheuux pose une question sur la présentation des probas, je n'ai pas l'impression qu'il ait la moindre difficulté pour comprendre que les probas demandées sont 3/4 et 1/4.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 19:07

C'est la justification qui m interesse et ce que je dois dire aux eleves.. car je ne sais pas quoi leur faire ecrire comme correction

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 19:33

La justification est dans l'équiprobabilité des angles de rotations (modulo un tour).
Si on n'a pas cette équiprobabilité, on ne peut rien dire.
Par exemple, si je fais tourner dans le vide la roue avant de mon vélo, elle s'arrête toujours la valve en bas. Il n'y a pas de hasard.

Je ne sais pas à quel niveau tu enseignes, mais je te recommande le modèle discret, du genre on tire au hasard, et avec équiprobabilité, un angle mesurant un nombre entier de degré entre 1° et 360°.
Le résultat est « rouge » entre 1° et 270°, « violet » entre 271° et 360°.
Donc P(rouge)=3/4 et P(violet)=1/4.

Ensuite on prend un modèle plus simple, et sans équiprobabilité.

Maintenant, je ne connaît pas les derniers caprices des IPR sur la question.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 19:52

Merci verdurin pour ta reponse.
Et toi, que dirais-tu de ce que j ai ecrit dans mon msg initial ?

Posté par
malou Webmaster
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 19:59

Bonjour Matheuux
il est écrit "La roue équilibrée ..."
pour moi, je rejoins verdurin, en disant qu'il y a équiprobabilité

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 20:10

Que j'en pense beaucoup de mal.
Et que le mal que j'en pense provient de l'énoncé, je pense qu'on devrait pendre ses auteurs haut et court, au moins métaphoriquement.

Je crois que la réponse attendue à la première question est qu'il y a deux issues.
Ce qui est particulièrement idiot, car, après il n'y a aucune méthode raisonnable permettant de calculer leurs probabilités, sauf à considérer qu'il n'y a pas que deux issues.

Sinon, il me semble avoir étalé mon opinion sur ce que peut-être une solution :
l'équiprobabilité sur les angles entraîne l'absence d'équiprobabilité sur les couleurs.
Et on a la possibilité de prendre un modèle sans équiprobabilité en se limitant aux couleurs.

Posté par
malou Webmaster
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 20:12

oui, équiprobabilité sur les angles (je n'avais pas précisé dans mon message précédent)

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 20:34

Je trouve cela compliqué de donner une reponse claire aux eleves...

Posté par
malou Webmaster
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 20:39

a) 2 issues "obtenir rouge " et "obtenir violet"
b)3/4 et 1/4

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 20:51

Ce qui me gene c est qu il n y a equiprobabilite sur les couleurs mais qu il y a equiprobabilite des secteurs lorsque je partage la roue en 4 secteurs identiques.

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 20:54

Salut malou

malou @ 01-12-2016 à 20:39

a) 2 issues "obtenir rouge " et "obtenir violet"
b)3/4 et 1/4

pour moi ta réponse est fausse.
Si il n'y a que deux issues, comment justifier les réponses 3/4 et 1/4 du b) ?

Je me répète une dernière fois : la justification des probabilités de«  rouge » et « violet »
provient de :
les issues sont des angles ( que l'on peut discrétiser )  et il y a équiprobabilité sur les angles.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 20:56

Parce qu on pourrait dire aussi qu on applique la formule "nombre de cas favorable sur nombre de cas possible" - 270° / 360° = 3 / 4 alors qu il n y a pas equiprobabilite...

Posté par
malou Webmaster
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 20:58


à quel niveau cet exo était posé ? (habituellement ce type d'énoncé est complété par une phrase du genre "la proba....est proportionnelle au secteur" non ?

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 21:01

Non pas sur cet exo.
Je t ai copie ce qui etait ecrit.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 21:08

Quelle difference y a t il entre secteurs identiques et la proba... est proportionnel au secteur ?

Imaginons par exemple j ai une roue partage en 8 secteurs identiques : le raisonnement est-il le meme ? Ces 2 informations (secteurs identiques et proportionalite) apportent elles les memes infos que pour la roue precedente (90° ; 270°) ?

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 01-12-16 à 21:30

?

Matheuux @ 01-12-2016 à 21:08

Quelle difference y a t il entre secteurs identiques et la proba... est proportionnel au secteur ?

Imaginons par exemple j ai une roue partage en 8 secteurs identiques : le raisonnement est-il le meme ? Ces 2 informations (secteurs identiques et proportionalite) apportent elles les memes infos que pour la roue precedente (90° ; 270°) ?
Oui

Pour prendre un autre exemple, tu lances un dé cubique équilibré dont les faces portent un numéro de 1 à 6.
Un dé ordinaire, dont les faces sont équiprobables.
Je colorie ce dé en vert et bleu (les couleurs cachent les numéros).
Je lance le dé :
quelles sont les issues de cette expérience ?
quelle est la probabilité de chacune d'elles ?

Si tu peux répondre à la seconde question, je ne peux que te conseiller de te lancer dans la divination.

Posté par
malou Webmaster
re : Équiprobabilité 02-12-16 à 11:03

verdurin @ 01-12-2016 à 20:54

Salut malou
malou @ 01-12-2016 à 20:39

a) 2 issues "obtenir rouge " et "obtenir violet"
b)3/4 et 1/4

pour moi ta réponse est fausse.
******

pour moi aussi, j'aurais mieux fait de me taire !.....tu as raison verdurin !....

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équiprobabilité 02-12-16 à 12:48

moi je n'ai pas compris ce qui vous tracasse ?
j'aurais répondu aussi :
a) 2 issues "obtenir rouge " et "obtenir violet"
b)3/4 et 1/4

quoi d'autre ?

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 03-12-16 à 22:45

Salut Glapion.
Comment justifies-tu la réponse b) ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 00:20

ben si un des angle est 90° et l'autre 270° et que les probabilités sont proportionnelles aux surfaces, ça donne 3/4 ; 1/4, je ne vois pas vraiment ce que l'on pourrait dire d'autre sur un problème aussi simple

Posté par
carpediem
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 12:24

Citation :
On fait tourner cette roue et on note, à l'aide de la flèche, la couleur repérée.

donc je suis d'accord avec Glapion


Citation :
Ma question : est-on en situation d'équiprobabilité ?
D'un côté oui, et d'un autre non.

il n'y a pas de oui et de non il y a à connaitre la définition du mot équiprobabilité

...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 12:32

moi j'ai pensé que c'était sous entendu l'équiprobabilité des deux issues.
(puisque la question est "2) Détermine la probabilité de chacune de ces issues. ")
donc en bon français, "elles sont équiprobable, si elles sont égales"
et donc la réponse est non.

mais je vois qu'on peut chinoiser à l'infini sur un truc comme ça, j'aurais jamais imaginé ça .

Posté par
carpediem
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 12:43

Citation :
La roue équilibrée ci-contre est formée de deux secteurs de couleurs différentes violet et rouge) et n'ayant pas la même mesure d'angle (le violet -> 90°)


Citation :
moi j'ai pensé que c'était sous entendu l'équiprobabilité des deux issues.


supposer une hypothèse fausse ... avoue qu'il y a de quoi pinailler ... bien que ce ne soit pas le cas ...

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 18:24

Pour continuer à pinailler.

Je ne sais pas vraiment ce qu'est une « issue ».
Disons que je prendrais ça dans le sens :
on a un espace probabilisé   (\Omega\ ;\ \mathcal{T}\ ;\ $P$)
une issue est un élément de \Omega.

Ici \Omega est le cercle, \mathcal{T} la tribu des boréliens et P est proportionnel à la mesure de Lebesgue.

Une issue est un angle, et comme l'aire d'un secteur est proportionnelle à la longueur de l'arc, la probabilité d'un secteur est effectivement proportionnelle à son aire.

Comme c'est  hors programme dans le secondaire, on peut discrétiser le problème en disant que l'on divise la roue en un certain nombre de secteurs isométriques qui sont équiprobables, par exemple avec des clous qui interdisent les cas ambigus sur la limite rouge - violet.
Une issue est alors un de ces secteurs et les issues sont équiprobables.

Ensuite on s'intéresse à deux événements : « la flèche indique rouge »,  « la flèche indique violet » et on calcule leurs probabilités.


Mais il est très clair pour moi que la réponse attendue est celle qu'a donnée Glapion.
Le seul problème est qu'elle n'a aucun sens mathématique, même si elle est presque évidente intuitivement.

La question que me pose cet exercice est :
doit-on faire des maths en cours de math, ou se limiter à de vagues intuitions ?

L'auteur de l'énoncé a manifestement tranché pour les vagues intuitions.

Et je suis vraiment désolé de voir que, même dans le forum  espace profs,  se limiter à de vagues intuitions semble suffisant.

Posté par
carpediem
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 18:37

ouais ... mais bon ...

se donner U = {bleu, rouge} avec P(B) = 1/4 et P(R) = 3/4 et interpréter cela avec une roue et des secteurs d'1/4 et de 3/4 peut sembler convenable ... quand on introduit les proba

de même que quand on introduit les intégrales on interprète leur résultat par des aires ...

il faut distinguer :

introduire une notion à quelqu'un qui n'en connait rien et on peut "être "un peu" approximatif" dans un premier temps puis formaliser tout cela avec rigueur ultérieurement dans la poursuite d'étude

et

introduire une notion par quelqu'un qui en connait "beaucoup plus" et sait toutes les éventuelles imperfections du biais utilisé pour introduire ces notions ...

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 18:59

D'accord.
On peut dire :
on s'intéresse à deux événements et leurs probabilités respectives sont 3/4 et 1/4 intuitivement.

Mais introduire le vocable « issue » me semble être une erreur.

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 19:14

Et la question 1) devrait plutôt être :
une roue est  colorée exclusivement en rouge ou en violet, combien y a t-il de couleurs utilisées ?

C'est évidement moins prétentieux, on voit directement que c'est du niveau CP, mais c'est plus précis.

En fait je reproche surtout à ce genre d'exercices d'avoir des prétentions à une rigueur qu'ils n'ont pas.
On emploie de grands mots vides de sens, et on croit que c'est une science.

Et je dirais que c'est le malheur de l'enseignement, dans le secondaire, des probas et des stats.

Posté par
carpediem
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 19:53

Citation :
Mais introduire le vocable « issue » me semble être une erreur.


non je ne suis pas d'accord : les issues sont les éléments de l'univers ...

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 20:20

Bonsoir Verdurin, pourquoi ta formulation de la question 1) est-elle plus precise ?
Merci.

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 20:50

Citation :
non je ne suis pas d'accord : les issues sont les éléments de l'univers ...

Et justement, si on veut calculer ( estimer intuitivement ) les probabilités des événements « rouge » et « violet » on est bien obligé de voir qu'il ne s'agit pas d'éléments de l'univers, mais de parties de l'univers. Et donc que le terme « issue » est totalement inapproprié pour les qualifier.

Disons qu'une rédaction plus correcte de l'exercice pourrait être :

Citation :
La roue équilibrée ci-contre est formée de deux secteurs de couleurs différentes violet et rouge) et n'ayant pas la même mesure d'angle (le violet -> 90°)
On fait tourner cette roue et on note, à l'aide de la flèche, la couleur repérée.
1) Quelles sont les issues de cette expérience ?
On considère les événements du type « la flèche indique une certaine couleur ».
Combien y a t-il d'événements de ce type ?

2) Détermine la probabilité de chacune de ces issues.
On admet que la probabilité d'un secteur est proportionnelle à son aire.1
Quelle est la probabilité de chacun des événements précédents ?

1 ça c'est pour faire plaisir à Glapion


Avec quelques remarques :
    -- je n'ai pas demandé de préciser l'univers de l'expérience ( les issues ). C'est très mal,  j'ai proposé plus haut des versions où on pouvait le donner, mais disons qu'on fait dans le genre intuitif pour les probas continues.
    -- « roue équilibrée » est un appel à l'intuition physique, qu'il me semble judicieux de préciser dans un énoncé mathématique.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 21:07

Issue est une reponse, un resultat que l on obtient suite a une experience aleatoire.
Ici, rouge et violet.
Cependant les probas que l on cherche ne sont, pour moi, pas des probas d issues (ce qui n a pas de sens me smble t il) mais des probas d evenements elementaires "Obtenir rouge / violet".

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 21:36

J'ai beaucoup de mal à croire que « rouge » soit un événement élémentaire.
Si c'est le cas il est impossible de calculer sa probabilité.

Les issues (l'univers) sont les positions relatives de la roue et de la flèche.
Ensuite on considère des événements, parties de l'univers.
Enfin on peut considérer une sous-tribu réduite aux parties de {rouge, violet} munie d'une probabilité qui n'est pas uniforme.

Mais, je crois, il est important que les élèves comprennent que l'on est pari d'un univers grand et que l'on le restreint à ce qui nous intéresse ce qui fait un univers petit.

En ce sens il est essentiel de préciser que la probabilité d'un secteur est proportionnelle à son angle au centre (ou à son aire, ou à la longueur de l'arc)

Pour prendre un exemple plus simple : je lance trois fois une pièce équilibré ou non et je compte le nombre de « pile ».
On peut bien sur dire qu'il y a quatre issues : 0 ; 1 ; 2 ; 3.
Mais pour calculer les probabilités, on est obligé de considéré qu'il y en a huit.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 21:47

Je comprends : tous les triplets avec Pile et face conduisent à 8 resultats.
Je comprends qu il y a 4 issues mais ne comprends pas ce qui s opposent.
Du coup, la resolution de cet exercice pour des 4emes me parait imbuvable : je ne sais pas comment faire des probas proprement à ce niveau avec de tels exercices...

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 21:59

Pour préciser encore, voici deux images ( je n'ai mis que le rouge).

Il s'agit manifestement de deux issues distinctes.

Équiprobabilité

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 22:34

Je dois bien dire qu'il y a très longtemps que je n'ai pas eu de quatrième. . .

Je crois qu'il faut fixer le vocabulaire.

Une issue est un résultat possible et, en quatrième, je dirais qu'une issue un angle mesuré par un nombre entier de degré entre 1 et 360. Bien sur on peut aussi se limiter à quatre secteurs de 90° équiprobables, mais je crois qu'il vaut mieux donner beaucoup de secteurs, pour favoriser l'intuition des probabilités continues
Dont j'éviterai soigneusement de parler.

Ensuite, on affirme que « roue équilibrée » signifie que ces secteurs sont équiprobables.

Puis on a deux événements qui nous intéressent « rouge », « violet ».

Comme on a 270 secteurs rouges sur 360 secteurs possibles P(rouge)=3/4.

En résumé, on part d'une situation d'équiprobabilité ( le hasard ).
Puis on calcule des probabilités.

Ceci étant dit, c'est mon avis, et, pour moi, il est évident que j'ai raison.
C'est moins évident pour d'autres.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 23:07

Qu'est-ce que vous aimez compliquer les choses ! :
les deux issues ici c'est la flèche tombe sur rouge ou violet (avec des probabilités 3/4 ; 1/4)
Avec des quatrièmes, il faut savoir expliquer les choses simplement.

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 04-12-16 à 23:20

Bonsoir Glapion.

Glapion @ 04-12-2016 à 23:07

Qu'est-ce que vous aimez compliquer les choses ! :
les deux issues ici c'est  la flèche tombe sur rouge ou violet (avec des probabilités 3/4 ; 1/4)
Avec des quatrièmes, il faut savoir expliquer les choses simplement.

Ça c'est des affirmations, la seule chose qui manque sont les explications.
Sauf si tu crois que « si je le dis, c'est que c'est vrai » est une explication.

Posté par
Matheuux
re : Équiprobabilité 05-12-16 à 09:12

On pinaille, on se complique la vie mais en tout cas, personne ne voit les choses de la même manière et personne ne semble avoir les mêmes interprétations d'un exercice de 4ème...
Cet exercice aura au moins eu la vocation de nous permettre un véritable échange.

Posté par
carpediem
re : Équiprobabilité 05-12-16 à 19:07

carpediem @ 04-12-2016 à 18:37

ouais ... mais bon ...

se donner U = {bleu, rouge} avec P(B) = 1/4 et P(R) = 3/4 et interpréter cela avec une roue et des secteurs d'1/4 et de 3/4 peut sembler convenable ... quand on introduit les proba

de même que quand on introduit les intégrales on interprète leur résultat par des aires ...

il faut distinguer :

introduire une notion à quelqu'un qui n'en connait rien et on peut "être "un peu" approximatif" dans un premier temps puis formaliser tout cela avec rigueur ultérieurement dans la poursuite d'étude

et

introduire une notion par quelqu'un qui en connait "beaucoup plus" et sait toutes les éventuelles imperfections du biais utilisé pour introduire ces notions ...


il y  a une différence entre celui qui sait et celui qui ne sait pas ...

tout le pb est de quoi faire pour que celui qui sait apprenne à celui qui ne sait pas ...


découper la roue en quatre secteurs identiques et en colorier trois d'une même couleur et l'autre d'une autre couleur en précisant  éventuellement que la roue a autant de chance de s'arrêter n'importe où (où plus précisément la flèche a autant de chances de pointer sur n'importe quel point du cercle) suffit amplement pour une introduction en quatrième ...

le éventuellement peut être omis si c'est l'objet d'une question ultérieure quand les élèves ont répondu 3/4 et 1/4 pour leur faire percevoir la notion d'équiprobabilité : pourquoi 3/4 et 1/4

là où je peux rejoindre verdurin c'est que cet exercice est l'exercice typique et classique où l'on discrétise une situation continue ... à contrario des classiques pile/face ou lancers de dé qui sont des situations discrètes de facto

...

Posté par
verdurin
re : Équiprobabilité 07-12-16 à 22:22

Citation :
1) Quelles sont les issues de cette expérience ?
2) Détermine la probabilité de chacune de ces issues.
On peut dire que les issues sont « rouge » et « violet ». je ne suis pas vraiment d'accord, mais je l'accepte pour l'intérêt de la discussion.

Mais je crois qu'attendre la réponse 3/4 ; 1/4 à la question 2 sans dire quelque chose du genre « on admet que les probabilités sont proportionnelles aux angles » ou n'importe quoi d'équivalent est une erreur.
Il est bien connu que l'intuition n'est pas un bon guide en proba.
Sans vouloir sombrer dans une rigueur excessive, il me semble que les hypothèses doivent être explicitées.

Et que dire « les issues sont les positions relatives de la roue et de la flèche » (sous une forme ou une autre ) est non seulement plus juste, mais aussi prépare mieux les élèves à l'apprentissage des probabilités.
Ceci parce que l'on montre comment modéliser un problème.
On passe d'une situation avec beaucoup (niveau quatrième) d'issues possibles à un modèle qui n'a que deux issues.
Et ce mécanisme me semble important.



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