Bonsoir,
la proposition 1 affirme que est dans A.

Bonjour,

Il y'avait une petite coquille dans le post précédent .

Si ce point appartient à X, alors c'est également un point isolé ce qui est absurde .

Supposons donc que a n'appartient pas à X .

Il me semble que la propriété que tu veux démontrer est fausse.
Prenons par exemple R munie de la distance usuelle et A=[0;1].
Soit X={1/n | nN*}.
C'est une partie infinie de A dont tous les points sont isolés.
Ceci étant dit je relève juste d'un épisode covid, et il se peut que je délire encore.

Bonsoir,

Je viens de vérifier, tous les points de X sont bien isolés .

En effet, soit n un entier naturel non nul, B( , )

ou = min (,) contient

seulement . Tous les points sont donc bien isolé .

Par contre pouvez vous me dire ce qui ne va pas dans la formulation de la proposition ci jointe en image .

Elle est indispensable dans la suite du cours que je suis en train d'étudier .


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Bonjour,

Je confirme que la propriété 2 n'a aucune raison d'être vérifiée par une partie compacte d'un espace métrique.

Il semble que l'auteur pense que le fait pour une partie X de A de n'avoir aucun point d'accumulation dans A est équivalent au fait que tous les points de X soient isolés, ce qui est bien sûr faux.
Ce qui est vrai, c'est que toute partie fermée de A dont tous les points sont isolés est finie (et ceci caractérise les parties compactes d'un espace métrique).

C'est quoi, ce bouquin ?

Bonjour,

"Il semble que l'auteur pense que le fait pour une partie X de A de n'avoir aucun point d'accumulation dans A est équivalent au fait que tous les points de X soient isolés, ce qui est bien sûr faux. "

Je pensais la même chose que l'auteur .

Mon point de divergence avec l'auteur était le suivant :

J'avais l'impression que l'auteur pensait que si tous les points d'une

partie sont isolés, alors il n'y a pas de points d'accumulations (de X) .

Ce qui me paraîssait faux, car un point d'accumulation de X n'est

pas forcément dans X .

Par contre ce qui est problématique et qui m'a mis le doute c'est le

fait que l'auteur utilise cette propriété pour démontrer que tout

compact est précompact .

Ensuite il utilise la précompacité pour démontrer autre chose .

Ce qui fait une boucle .

C'est donc tout un paragraphe qu'il faut revoir .

Les références du bouquin sont les suivants :

Topologie et Analyse 3ème Année

Je vous mettrai les paragraphes en question dès que je rentre si cela

vous intéresse .

1°) Je ne comprends pas ce avec quoi tu es d'accord ou pas. Sois plus clair.
2°) Les références du bouquin ne sont pas complètes : auteur ? édition ?

Bonjour,

Je me suis emmêlé les pinceaux .

Dans le post précédent je pensais que si :

Une partie X de A n'a aucun point d'accumulation dans A  alors tous les points de X sont isolés  .

Cependant je trouvais que la réciproque était fausse .

Effectivement soit X une partie de A qui n'a aucun point d'accumulation dans A .

Soit un point de X , alors ce point est

adhérent à X, en effet la suite définie pour tout

entier naturel   par   converge vers

. Ce qui prouve que le point   est bien

adhérent à X .

Puisque est adhérent à X et que ce n'est pas un point

d'accumulation dans A,   est isolé dans X .

Par contre la réciproque est plus compliqué :

Si tous les points de X sont isolés, alors alors aucun point de X n'est un point d'accumulation de X .

Mais les points d'accumulations ne sont pas forcément dans X .

Pour résumer la propriété 1 n'est donc pas équivalente à la propriété 2 .

Concernant la phrase suivante :

"toute partie fermée de A dont tous les points sont isolés est finie (et ceci caractérise les parties compactes d'un espace métrique)"

Comment doit-elle être interpréter ?

Voila comment je la comprend :

Si Toute partie fermée de A dont tous les points sont isolés est

finie alors A est compacte .

Je voudrai la comprendre puis la prouver .

Je vous mettrai les pages du livre dans mon prochain post .

Ce post est dèjà très long .

Merci pour votre aide .

Bonjour,

Si tu ne mettais pas autant de sauts de lignes dans tes messages, ils seraient plus lisibles. Là, c'est un peu l'enfer.

Bonjour,

Je pensais que le saut de ligne aiderait la lecture du post .

Merci comme même pour l'aide apporté .