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équivalence entre ker=im et f nilpotente
Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide sur un exercice où j'ai du mal. Je viens vous demander des pistes.
Voici l'énoncé:
Soit E un espace de dim 2 et f linéaire de E dans E.
Mq l'équivalence entre i) ker(f) = im(f) et ii) f est nilpotente
Bonsoir,
Qu'as-tu essayé ? Bien sûr, le fait que la dimension de l'espace est 2 est très important.
Si est un endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension 2, que peut-on dire de
?
Tu dois avoir oublié l'hypothèse .
pour i) => ii):
On a ker(f)=im(f)
donc dim ker(f)= dim im(f)
alors th du rang nous donne que dim(E)= dim ker (f)+ dim im (f)
et nécessairement dim ker(f)=1=dim im(f).
pour ii)=> i) :
d'après votre remarque, comme f /= 0 et qu'on est en espace de dimension 2 alors f^2 = 0 , mais l'hypothèse que vous m'avez donnée n'est pas présente dans l'exercice.
Bonjour,
Je réponds en l'absence de GBZM qui reprendra la main dès qu'il le voudra.
Si ker(f) = im(f) , que peut-on dire de fof(u) pour u quelconque ?
L'exercice est faux sans l'hypothèse f 
0.
Si f = 0, f est nilpotente mais ker(f) = im(f) est faux.
Pour les symboles mathématiques, tu peux utiliser le bouton
sous la zone de saisie.
Bonjour,
Je réponds en l'absence de GBZM qui reprendra la main dès qu'il le voudra.
Si ker(f) = im(f) , que peut-on dire de fof(u) pour u quelconque ?
L'exercice est faux sans l'hypothèse f
0.
Si f = 0, f est nilpotente mais ker(f) = im(f) est faux.
Pour les symboles mathématiques, tu peux utiliser le bouton
sous la zone de saisie.Merci pour l'indication mais je ne sais pas quoi en faire, pour être honnête je tourne en rond et je fais des choses qui me semblent dénuées de sens.
Je me suis dis que comme quelque soit u dans E,
f(u)
0 , alors ker(f) = 
= im(f) puisqu'il n y a aucun vecteur de E qui vérifie f(u) = 0, m'enfin cela n'avance pas.J'ai aussi,
pour tout u dans E,
f(u)=u
d'où f(f(u))=f(u)=u
donc en particulier f(f(0)) = 0 (j'écris 0 pour le vecteur nul de E)
soit f nilpotente d'ordre 2 ?
Bonsoir,
D'où sors-tu ce ?
D'où sors-tu ce "quelque soit u dans E, f(u)0" ?
Tu t'égares complètement.
Peux-tu démontrer que équivaut à
? (Pour cela on n'a pas besoin de faire d'hypothèse sur la dimension).
Pour en arriver à f(u)=u, j'ai écris :
im(f) = {f(x) 
E / x E}
et ker(f)= {x/f(x)=O} (vecteur nul de E)
j'en ai déduit cette égalité fausse à priori.
en ce qui concerne f(u)0 j'appliquais l'hypothèse f 0
J'ai essayé de traiter ce que vous m'avez dit , je n'arrive pas à faire l'implication selon laquelle on suppose Im(f) 
ker(f).
Pour i => ii :
Soit y im(f)
on pose y=f(x)
dès lors f(y)=f(f(x))=0 car f2 =0
d'où f(x) ker(f)
donc im(f) ker(f)
Pour en arriver à f(u)=u, j'ai écris :
im(f) = {f(x)
E / x E}
et ker(f)= {x/f(x)=O} (vecteur nul de E)
j'en ai déduit cette égalité fausse à priori.
Je ne vois vraiment pas comment tu peux en déduire ça !
en ce qui concerne f(u)
0 j'appliquais l'hypothèse f 0Gros problème de compréhension : dire que
Pour l'équivalence que je te demandais, tu as une implication. L'autre est à mon avis encore plus simple : en supposant que l'image de
Ah oui en effet,
Je crois que dire que im(f) ker(f) signifie que pour tout x, f(x) = 0 puisque toute les images de l'ensemble de départ sont dans le noyau.
Des lors en composant par f et sachant que f est linéaire on a f(f(x)) =0
Je crois que dire que im(f)
ker(f) signifie que pour tout x, f(x) = 0 puisque toute les images de l'ensemble de départ sont dans le noyau.Tu crois vraiment ce que tu as écrit ou c'est un lapsus ?
Bonjour,
Pour i) entraine ii) reprends ce que t'a écrit Sylvieg hier à 7h37:
Si ker(f) = im(f) , que peut-on dire de fof(u) pour u quelconque ?
+ des remarques :
- Tu envisages le 11/5 à 20h24 que Kerf =
. Non, le vecteur nul appartient à Kerf donc cet ensemble n'est pas vide.
- Retour sur ton échange avec GBZM :
tu sembles effectivement confondre beaucoup de choses,par exemple ce u = f(u) ??? (ce qui t'a d'ailleurs gêné pour suivre la piste de Sylvieg je crois)
Tu lui écris aussi :
im(f) = ker(f) signifie que pour tout x, f(x) = 0 puisque toute les images de l'ensemble de départ sont dans le noyau.
Non pas du tout, ce sont les éléments de Im(f) qui sont dans le noyau, et donc les éléments de la forme f(u)
où u
E
Là tu vas peut-être pouvoir reprendre la piste indiquée par Sylvieg ?
Et j'oubliais, que signifie pour toi : f est nilpotente ? J'ai un doute lorsque je te lis le 11/05 à 20h29.
Et ça a sans doute à voir avec d'autres remarques de GBMZ concernant une application nulle.
Bref, il reste des notions à clarifier.
Merci co11 de tes éléments de clarification. En effet, j'ai confondu pas mal de chose.
si Im(f) Kerf alors pour tout u,
f(u) Kerf
Soit f(f(u)) = 0.
Je comprend mieux désormais ceci.
Et ceci est aussi valable pour l'égalité du noyau et de l'image car cela signifie que les deux ensembles sont inclus l'un dans l'autre.
f est nilpotente si qlq soit x, il existe un n
tel que fn = 0
si Im(f)
Kerf alors pour tout u,
f(u)
Kerf
Soit f(f(u)) = 0.
Dis bien, pour tout u appartenant à E
Donc f² ......
donc f2 = 0 ce qui traduit le fait que f est nilpotente d'ordre 2.
Réciproquement, on suppose f nilpotente. Comme dim(E)=2, (et qu'on a f0, f est nilpotente d'ordre 2.
( D'ailleurs je sais que ceci est vrai mais je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi )
Il reste a montrer l'inclusion : Kerf Imf pour montrer l'égalité entre les deux ensembles.
Soit z dans Kerf
alors f(z) = 0 et zE,
on prend z=f(x) et alors f(f(x)) = 0
d'où z est dans Im(f)
cela prouve que KerfImf .
donc f²= 0 ce qui traduit le fait que f est nilpotente d'ordre 2.
En admettant qu'on sache que f² = 0, il reste 2 inclusions à prouver
Ker f
Imf : pas trop compliqué je pense : si x Ker f, alors f(x) ......
Réciproque : si x
Imf, alors il existe u E tel que f(u) = x Mais ce que j'ai écris ici pour justifier l'implication réciproque n'est pas juste ?
Soit y
im(f)
on pose y=f(x)
dès lors f(y)=f(f(x))=0 car f2 =0
d'où f(x)
ker(f)
donc im(f)
ker(f)et ici pour la deuxieme inclusion
donc f2 = 0 ce qui traduit le fait que f est nilpotente d'ordre 2.
Réciproquement, on suppose f nilpotente. Comme dim(E)=2, (et qu'on a f
0, f est nilpotente d'ordre 2.
( D'ailleurs je sais que ceci est vrai mais je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi )
Il reste a montrer l'inclusion : Kerf
Imf pour montrer l'égalité entre les deux ensembles.
Soit z dans Kerf
alors f(z) = 0 et z
E,
on prend z=f(x) et alors f(f(x)) = 0
d'où z est dans Im(f)
cela prouve que Kerf
Imf .Je pense que tu emploies des mots 'mathématiques' qui sont trop abstraits pour toi pour l'instant.
ker f ... c'est quoi, avec des mots en français. Pareil pour Im f
Pareil pour le mot 'nilpotent'.
Essaie de mettre des mots aussi concrets que possible sur tout cet exercice.
Je vois,
Ker f c'est le noyau de l'application f c'est à dire que c'est l'ensemble des vecteurs pour lesquels lorsqu'on leur appliquent f, on a le vecteur nulle de l'ensemble d'arrivé.
Im f c'est l'ensemble image soit l'ensemble que constitue f appliqué aux vecteurs qui appartienent à l'ensemble de départ.
Et une application nilpotente désigne une application qui va s'annuler au bout d'un nombre n de composition par elle même.
Je pense avoir dit une bêtise hier à 21h37:
Ker f
Imf : pas trop compliqué je pense : si x Ker f, alors f(x) ......En fait c'est Imf
Kerf qui n'est pas trop compliqué.
Relis d'ailleurs la fin du message de GBZM du 11/05 à 22h59.
En espérant ne pas t'avoir trop embrouillé.
Oui mais il y a eu beaucoup d'échanges, des choses justes et d'autres non, il va falloir faire le tri.
Pour commencer, je prends ton message le plus récent, aujourd'hui à 18h29 , concernant kerf et Imf. Complète ce que je commence à écrire :
Soit x appartenant à E
x appartient à Kerf ssi ...................
x appartient à Imf ssi .......................
Ensuite, retiens la proposition de GBZM, à savoir montrer que :
i) Imf Kerf équivaut à ii) f² = 0
Je pense que as tu as à peu près prouvé hier à 19h33, que i) 
ii)
ii) i) à faire encore je crois
Je faisais référence à mon message de 22h05, où j'ai proposé une preuve pour les deux inclusions je voulais juste savoir si elles étaient juste. L'autre implication je l'ai déjà montrée avant.
Effectivement tu as proposé une preuve de ii) i) hier à 22h06. C'est à peu près ça.
On en est donc à : i) Imf Kerf équivaut à ii) f² = 0
Attention, il y a un truc qui n'est pas bon.
On veut montrer que ker f inclus dans Im f
Soit z dans Ker f
Ok
z appartient à E, et f(z)=0
Oui, c'est la traduction de ' z est dans Ker f'
On prend z = f(x)
Euhhhh . déjà, reformulons : on prend x , tel que f(x)=z
Ou même , un peu mieux, parce que 'on prend', c'est pas terrible :
Soit x appartenant à E, tel que f(x)=z
Là, c'est un peu plus mathématique comme formulation, mais c'est faux.
Qu'est-ce qui nous assure qu'on peut trouver un x qui colle ? Rien.
Si on met comme hypothèse que z est dans Im(f), alors oui, on a l'assurance qu'il existe x qui convient.
Mais nous on veut prouver que z appartient à Im(f) ; on ne peut pas faire l'hypothèse que z appartient à Im(f) , pour ensuite en conclure ; donc z appartient à Im(f)
Ah mince,
J'ai envoyé mon compte rendu de khôlle sur l'exo bon tant pis mais comment pourrais je faire pour montrer cette inclusion alors ?
Il me semble que c'est là que les questions de dimension interviennent.
Mais j'ai pas mal oublié et j'aimerais que quelqu'un confirme.
Dim(Im f)+Dim(Ker f)=2
Et Im(f) inclus dans Ker (f)
Et Im(f) est de dimension au moins 1
Deux ensembles de dimension 1, 2 droites vectorielles. Si l'une est incluse dans l'autre, elles sont égales.
Merci ty59847
C'est bien ce que je pensais sans en être vraiment sûre, mais je n'en disais pas trop, histoire que notre demandeur cherche aussi.
pour i) => ii):
On a ker(f)=im(f)
donc dim ker(f)= dim im(f)
alors th du rang nous donne que dim(E)= dim ker (f)+ dim im (f)
et nécessairement dim ker(f)=1=dim im(f).
pour ii)=> i) :
d'après votre remarque, comme f /= 0 et qu'on est en espace de dimension 2 alors f^2 = 0 , mais l'hypothèse que vous m'avez donnée n'est pas présente dans l'exercice.
Ça marchais pas ça ?
Pour répondre à quelle question ?
Je cherche une phrase qui dit ... donc Kerf=Imf , et je ne la vois pas !
Il y a certainement plein de façons d'agencer les idées, mais il faut quelque part les 2 ou 3 arguments, les uns derrière les autres. Et la conclusion de la démonstration à la fin.
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