Niveau Préparation CRPE

Équivalence logique.

Posté par
bouchaib 15-01-24 à 07:58

Bonjour,
Question : donner la valeur de vérité de la proposition suivante,
         $(a \in R); (a \geq 2\Leftrightarrow a^2 \geq4)$

  Réponse :   $(a \in R); (a \geq2\Rightarrow a^2\geq4)$
Mais,   $(a \in R); (a ^2\geq4\Rightarrow (a \leq -2    ou  a \geq2)$
Donc l'équivalence est fausse.
Y-a-t-il autrement ?
Merci par avance.

Posté par re : Équivalence logique. 15-01-24 à 11:30

Bonjour,
Il y a un quantificateur universel qui manque dans ta formule.
Pour montrer que cette équivalence universellement quantifiée est fausse, il te suffit d'exhiber un réel $a$ qui vérifie un côté de l'équivalence et pas l'autre.
Peux tu m'en donner un ?
Si en fait le quantificateur était existentiel, pour démontrer que l'énoncé est vrai il te suffirait d'exhiber un réel $a$ qui vérifie les deux côtés de l'équivalence, ou qui ne vérifie aucun des côtés de l'équivalence.

Posté par re : Équivalence logique. 15-01-24 à 15:52

Merci.
   $Correction de la proposition : (\forall a \in R) .......$

(-2)²4 et  -2<2.
Donc  l'implication inverse n'est vraie donc l'équivalence est fausse.