salut

la deuxième ligne de la réciproque est fausse :

Merci pour votre réponse,

C'est bien ce que j'imaginais mais le problème est que j'ai énormément de mal à rédiger, à décomposer un raisonnement qui me paraît évident, d'où le "moulinage" dans le vide.
Auriez-vous une méthode un peu générale pour ce faire ?

C'est correct

Voici une autre preuve, sans aucun mot français



D'où l'équivalence de toutes ces lignes

Enfin, pour la deuxième ligne, je la comprends comme "tout élément de A est un élément de A∩B donc un élément de B". Si ce n'est pas ce que tu voulais dire alors c'est effectivement une erreur

Merci pour ta réponse,

C'est ce que je voulais dire, j'ai pas fait exprès de sauter une étape, mais je préfère ta preuve. Par contre je vois des implications et pas des équivalences... Peut-être que "revenir au point de départ" les "transforment" en équivalence ?

oui j'attendais plutôt cette rédaction plus explicite qui me semble raisonnablement plus rigoureuse ... et probablement attendue ...

j'ai failli le rédiger sans un mot mais il est bien de savoir dire proprement les choses en français  ...

cependant si je peux chipoter (en espérant à raison ) j'aurai plutôt écrit :



qu'en penses-tu ?

merci par avance

C'est très propre   mais j'ai l'impression que tu as démontré A incluS dans B équivalent à A inclus dans A inter B, et il faudrait A = A inter B, tu peux m'expliquer ce qui te permet de conclure ?

l'inclusion réciproque est triviale ... comme tu l'as dis toi même au début : est vrai !!

donc si tu prouve l'inclusion réciproque c'est fini ...

Effectivement. Je vous remercie tous les deux pour votre aide et pour votre belle rédaction

Bonne soirée,

Lantean

Je pensais faire comme toi carpediem (mais avec une virgule à la place des deux points), ais une facétie bourbakiste m'est alors venue à l'esprit.
x, comme tout objet de la théorie des ensembles, est un ensemble.

Considérons l'ensemble , fait de tous les ensembles qui appartiennent à ou à .

Alors x appartient à y, puisque x appartient à {x}. Donc {x} est inclus dans y.
Mais si on écrit les choses à ta façon, on est en train de dire que pour tout ensemble z, on a ou .
C'est-à-dire ou ou
C'est-à-dire .

Donc x contient tous les ensembles, tout en étant un ensemble. Absurde

petit erratum : "qui appartiennent à x ou à {x}" après la définition de y

merci Ulmiere de ta réponse ...

une petite précision tout d'abord : je préfère mettre deux points pour signifier "voila ce qui se passe pour (la lettre ou objet que je note) x
ainsi je traduirais la première ligne par : pour tout objet x : si x est un élément de A alors x est un élément de B

ces deux points ne sont donc qu'un séparateur comme la virgule mais que je trouve .... plus mieux bien visuellement !!

mais peut-être ai-je tort ?

enfin pour ton argumentation je dois t'avouer que j'ai du mal à te suivre : non pas que je mette en doute ton développement mais bien qu'ayant passé l'agreg (et eu  ... ouf!!) il y a un certain temps je ne me suis jamais penché profondément (pour ne pas tomber et me faire mal ) dans la théorie des ensembles bourbakiste

je me permet quelques remarques ou question sur ton développement :

Citation :
Considérons l'ensemble , pour moi cela signifie que x est une partie et un élément de y fait de tous les ensembles qui appartiennent à ou à .

Alors x appartient à y, puisque x appartient à {x}. Donc {x} est inclus dans y.
Mais si on écrit les choses à ta façon, on est en train de dire que pour tout ensemble z, on a . ici je ne comprends pas en quoi ma façon est équivalente à dire cela et je ne comprends pas ta conclusion
pour moi il me semble qu'on a deux cas : soit soit et si alors on a deux cas :
C'est-à-dire ou ou
C'est-à-dire .

Donc x contient tous les ensembles, tout en étant un ensemble. Absurde