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Niveau Maths sup
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Équivalent d’une intégrale

Posté par
Mpsido
12-05-19 à 11:01

Bonjour à tous !
J'ai eu récemment en colle de maths l'exercice suivant :
Soit f une fonction continue de [0,1], donner un équivalent de f(t)*t^n dt
J'avais réussi à trouver l'équivalent (f(1)/n) de façon intuitive mais je bloque pour le prouver vraiment.
Merci d'avance

Posté par
Mpsido
re : Équivalent d’une intégrale 12-05-19 à 11:03

C'est l'integrale ente 0 et 1 bien évidemment mais je n'arrive pas à l'écrire

Posté par
matheuxmatou
re : Équivalent d’une intégrale 12-05-19 à 11:05

bonjour

équivalent de

\int_0^1 \; f(t) \; t^n \; dt

en n à l'infini ?

Posté par
Mpsido
re : Équivalent d’une intégrale 12-05-19 à 11:06

Oui bien sûr j'ai oublié de le préciser

Posté par
matheuxmatou
re : Équivalent d’une intégrale 12-05-19 à 11:11

idée : peut-être en regardant ce que cela donne pour une fonction constante... puis en "approchant" f et son intégrale par des fonctions en escalier (somme de riemann) ...

Posté par
Mpsido
re : Équivalent d’une intégrale 12-05-19 à 11:20

Je viens de regarder et ça marche effectivement bien avec les fonctions constantes
Il reste à rédiger à l'epsilon près mais ça devrait le faire
Merci beaucoup

Posté par
etniopal
re : Équivalent d’une intégrale 12-05-19 à 15:07

Si f : [0 , 1]     est continue on définit uf :   par   u_f(n) := \int_{0}^{1}{t^nf(t)dt}
 \\ .
La suite  uf converge vers 0  car  on a  │uf (n)│   Sup(│f│)/n pour tout n .
On ne peut avoir uf (n) \sim f(1)/n pour toute  f  ( car si f(1) = 0 cela impliquerait que  uf (n) = 0 pour  tout n assez grand )

D'ailleurs si  f = X - X² ,  uf est la suite  n 1/(n+2)(n+3)  \sim1/n²   .

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Équivalent d’une intégrale 12-05-19 à 17:40

Bonjour, équivalents

\boxed{1} Si f(1)\neq0, on montre que \Large \boxed{\int_0^1t^nf(t)dt~~\sim_{n\to+\infty}~~\frac{f(1)}{n}}.


\boxed{1} Si f(1)=0 et f'(1)\neq0, on montre que \Large \boxed{\int_0^1t^nf(t)dt~~\sim_{n\to+\infty}~~-\frac{f'(1)}{n^2}}. sauf erreur bien entendu

Posté par
carpediem
re : Équivalent d’une intégrale 12-05-19 à 18:07

salut

elhor_abdelali : et si f(1) = 0 et f n'est pas dérivable (en 1) ?

j'ai vu le lien mais ici l'énoncé parle d'une fonction f que continue et rien de plus ...

merci par avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Équivalent d’une intégrale 12-05-19 à 18:11

Effectivement carpediem je n'avais pas bien lu l'énoncé

Posté par
etniopal
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 08:57

Un exercice "dérivé" :
   a étant un réel > 0  , a-t-on un équivalent simple de la suite va  : n     \int_{0}^{1}{t^n(1-t)^a}dt ?

Posté par
Zrun
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 09:36

Évidemment , on va supposer que f(1) est non nul dans un premier temps puis considérer la différence \mid u_n(f)-\dfrac{f(1)}{n}\mid et sortir les epsilons .

Pour l'exercice dérivé d'Etnipal, sachant que l'on peut calculer v_a(n) , je ne comprend pas trop la question ...

Posté par
jsvdb
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 09:47

L'exercice n'a d'intérêt que si 0 < a < 1 (sinon, voir le post de elhor_abdelali) et dans ce cas, f(1) = 0 et f n'est pas dérivable en 1.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 11:38

Bonjour jsvdb

Question intéressante etniopal


Si je ne me trompe je trouve :

\Large \boxed {v_a (n)=\frac {n!}{(a+n+1)(a+n)... (a+1)}}

Posté par
jsvdb
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 12:52

Bonjour elhor_abdelali.
Je confirme après quelques peines (et pourtant c'est un classique) dans les calculs ...

Posté par
jsvdb
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 13:07

Je soupçonne que répondre au post initial avec f(0) = 0 et f' non dérivable en 1 doit être impossible.
On doit pouvoir trouver à peu près tout les cas possibles ... la fonction n'étant que continue, on doit pouvoir faire mumuse avec les exemples les plus indomptables qui soient (escaliers du diable, fonction "point d'interrogation" et autre pièces de musée qui font la bio-diversité de la flore mathématique)

Posté par
jsvdb
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 13:07

* Je soupçonne que répondre au post initial avec f(1) = 0 et f' non dérivable en 1 doit être impossible.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 13:50

Oui jsvdb poutant c'est un classique !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 15:49

il me semble sauf erreur qu'avec f juste continue et f(1)=0 on a tout de même :


\Large \boxed {\int_0^1t^nf (t)dt = o (\frac {1}{n})}

Posté par
jsvdb
re : Équivalent d’une intégrale 13-05-19 à 15:54

C'est toujours mieux que rien ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Équivalent d’une intégrale 14-05-19 à 17:07



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