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Niveau Maths sup
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Equivalent de la reciproque de x/ln(x)

Posté par
knightmre
20-01-18 à 21:56

Bonjour,

Je coince sur cet exercice. On considère la fonction x\mapsto \frac{x}{ln(x)}.

La première question demande de montrer qu'elle admet une réciproque sur l'intervalle [e;+\infty, ce qui n'est pas trop difficile.

Par contre on demande dans un second temps un équivalent de la fonction réciproque en l'infini, et là je ne sais pas trop quoi faire, auriez-vous des pistes ?

J'ai déjà montré que la fonction réciproque admettait comme limite + l'infini en + l'infini mais je ne sais pas trop quoi faire d'autre.

Merci bien

Posté par
jb2017
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 20-01-18 à 23:22

Bonjour
Soit  donc x=g(y) la solution de y= x/ln(x).
Alors lorsque y tend vers l'infini,  x=g(y)\sim y \ln(y)

Posté par
jsvdb
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 20-01-18 à 23:23

Bonsoir knightmre.
Je ne pense pas qu'un équivalent simple soit possible.
On peut dire que si f(x) = \frac{x}{\ln (x)} alors f'(x) \sim \frac{1}{\ln(x)} en +\infty
Après il faudrait voir à piocher dans la famille des logarithmes intégraux et prendre leur réciproque. M'enfin ça ne nous avance pas tellement plus ...

Posté par
jb2017
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 20-01-18 à 23:25

Bonsoir
Si jsvdb l'équivalent simple je l'ai donné  à moins que tu n'ai pas lu mon message?  

Posté par
jsvdb
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 20-01-18 à 23:37

Salut jb2017.
Je ne te cache pas que c'est ce que j'avais écrit initialement et ça m'a laissé perplexe, donc j'ai effacé et remplacé par mon post insipide.
Bon alors du coup, je vais avoir besoin de faire un bout de démonstration ...

Posté par
jb2017
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 20-01-18 à 23:47

En fait la démonstration c'est une simple vérification de ce que j'ai dit, mais je laisse
à @knightmre de vérifier que la réponse est bien correcte.

Posté par
jsvdb
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 20-01-18 à 23:52

Quand je dis démonstration, je parle de la démarche pour arriver au résultat, pas d'une simple vérification que le résultat est bon (ça c'est facile et ça n'a pas d'intérêt)

Posté par
jb2017
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 20-01-18 à 23:54

Evidemment, mais c'est assez court dans la mesure où y s'y prend bien.  

Posté par
luzak
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 21-01-18 à 08:28

jb2017 @ 20-01-2018 à 23:22

Bonjour
Soit  donc x=g(y) la solution de y= x/ln(x).
Alors lorsque y tend vers l'infini,  x=g(y)\sim y \ln(y)

Bonjour !
Je verrais plutôt   x=g(y)= y \ln(x) . Ou alors tu "supposes" \ln(x)\sim \ln(y) et je ne vois aucune raison à cela !

Posté par
luzak
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 21-01-18 à 08:57

Avec les mêmes notations :
g(y)=y\,\ln(g(y)),\;\ln(g(y))=\ln(y)+\ln(\ln(g(y))).

Sachant que  \ln(\ln(u)) \underset{u \to\infty }{\quad=\quad} o(\ln u) on voit que \ln(y)-\ln(g(y))=-\ln(\ln(g(y))) \underset{y \to\infty }{\quad=\quad} o(\ln(g(y)) d'où l'équivalent cherché.

Remarque. En continuant  on trouve aussi le développement asymptotique :
g(y)\underset{y \to\infty }{\quad=\quad} y\,\ln(y)+\dfrac{y\,\ln(\ln (y))}{\ln y}+o\Bigl(\dfrac{y\,\ln(\ln (y))}{\ln y}\Bigr)

Posté par
jb2017
re : Equivalent de la reciproque de x/ln(x) 21-01-18 à 10:36

Bonjour
@luzak  c'est cela est effectivement  on peut continuer le développement comme tu as fait.



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