Niveau maths spé

Equivalent du reste d'une série convergente

Posté par
cfg977 14-02-22 à 21:48

Bonsoir à tous !

Je voudrais de l'aide pour montrer que :

$\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k!}$ ~ $\frac{1}{n!}$

Posté par re : Equivalent du reste d'une série convergente 15-02-22 à 04:23

salut

je tente une réponse :

1/k! pour k compris entre 0 et =1/k! pour k compris entre 0 et n-1 + 1/k pour k compris entre n et +
puis utiliser les développements limités

Posté par re : Equivalent du reste d'une série convergente 15-02-22 à 10:00

Bonjour,

Une autre piste. $n$ et   $N$ étant fixés dans $\mathbb{N}$

$\sum_{k=n}^{N}\dfrac{1}{k!}= \dfrac{1}{n!}\left(1+\dfrac{1}{(n+1)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}+\dots+\dfrac{1}{(n+1)\dots(n+N)}\right) = \dfrac{1}{n!} S_{n,N}$   ,

D'où   $\sum_{k=0}^{N}\dfrac{1}{(n+N)^k}\leq S_{n,N}\leq \sum_{k=0}^{N}\dfrac{1}{(n+1)^k}$

Puis on explicite les sommes des deux séries géométriques et on passe aux limites, d'abord $N\to+\infty,$ ,
$n$   restant fixé, puis $n\to+\infty$ .

Est-ce que ça tient la route?

Posté par re : Equivalent du reste d'une série convergente 15-02-22 à 10:39

Bonjour.

Ça marche !

La majoration que vous proposez permet d'obtenir le résultat souhaité.

Posté par re : Equivalent du reste d'une série convergente 15-02-22 à 11:26

Pour commencer on a : $\sum_{k=n}^{+\infty}{\frac{1}{k!}}=\frac{1}{n!}+\sum_{k=n+1}^{+\infty}{\frac{1}{k!}}$ .

Maintenant il suffit de montrer $\sum_{k=n+1}^{+\infty}{\frac{1}{k!}}$ est négligeable devant $\frac{1}{n!}$ quand n tend vers l'infini et c'est là que votre majoration permet de conclure.

En effet

$0\leq\sum_{k=n+1}^{N}{\frac{1}{k!}} = \frac{1}{n!}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{1}{(n+1)...N})\leq \\ \frac{1}{n!}(\sum_{k=1}^{N}{\frac{1}{(n+1)^k}})$

En passant à la limite quand N tend vers l'infini on a obtient :

$0\leq\sum_{k=n+1}^{+\infty}{\frac{1}{k!}} \leq \frac{1}{n!}\frac{1}{n+1}\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}} =\frac{1}{n!}\frac{1}{n}$ donc $0\leq n!\sum_{k=n+1}^{+\infty}{\frac{1}{k!}} \leq \frac{1}{n}$ . En passant à la limite quand n tend vers $+\infty$ $\sum_{k=n+1}^{+\infty}{\frac{1}{k!}} = o(\frac{1}{n!})$ d'ou $\sum_{k=n}^{+\infty}{\frac{1}{k!}}=\frac{1}{n!}+o(\frac{1}{n!})$ .

Posté par re : Equivalent du reste d'une série convergente 16-02-22 à 13:12

Bonjour,

On peut constater que $\frac{1}{n!} \sim (\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!})$ . On a donc l'équivalence aussi de leur reste.

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