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équivalent du reste du DSE de l'exp

Posté par
astroq123 06-07-19 à 15:49

Salut,

Pour x \in \mathbb{R}, peut-on trouver un équivalent à l'infini de \sum_{k \geq n+1}\frac{x^k}{k!}?

Merci

Posté par
Jezebethre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 16:12

Bonjour

Oui, avec Taylor reste intégral certainement.

Posté par
astroq123re : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 16:16

Bonjour, que devient cette équivalent?

Posté par
Jezebethre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 16:28

Sans doute le premier terme.
Mais je ne suis pas sorcier vaudou, il faut faire le calcul !

Posté par
larrechre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 16:43

Bonjour,

J'ai bien peur que que cet équivalent ne soit rien d'autre que l'exponentielle e^x elle-même.

Posté par
jandri Correcteurre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 16:49

Bonjour,

il faut comprendre que x est fixé.

On montre facilement que le quotient par \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} a pour limite 1 quand n tend vers l'infini.

Posté par
Jezebethre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 17:42

larrech @ 06-07-2019 à 16:43

Bonjour,

J'ai bien peur que que cet équivalent ne soit rien d'autre que l'exponentielle e^x elle-même.


Ça ne risque pas...

Posté par
larrechre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 17:51

J'ai mal compris la question. Désolé.

Posté par
verdurinre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 21:58

Salut jandri

jandri @ 06-07-2019 à 16:49

Bonjour,

il faut comprendre que x est fixé.

On montre facilement que le quotient par \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} a pour limite \color{red}1 quand n tend vers l'infini.

C'est sans doute une faute de frappe.
La limite est 0 de façon évidente.

Posté par
jandri Correcteurre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 22:19

Bonjour verdurin,

non ce n'est pas une faute de frappe.
Le quotient de la suite proposée par \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} est égal à 1+\dfrac x{n+2}+\dfrac {x^2}{(n+2)(n+3)}+... et il tend bien vers 1.

Posté par
verdurinre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 22:36

Pardon, j'avais mal lu.

Posté par
Zrunre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 22:44

Encore faut-il que l'auteur du sujet montre la convergence vers 1 ... Bon si on sait bien manipuler les inégalités c'est rapide mais encore faut-il voir comment le faire ...

Posté par
jandri Correcteurre : équivalent du reste du DSE de l'exp 06-07-19 à 23:06

Oui j'ai laissé un petit peu de travail à l'auteur du sujet.
Mais c'est assez rapide en majorant, pour n+2>|x|, la valeur absolue de \dfrac x{n+2}+\dfrac {x^2}{(n+2)(n+3)}+... par la somme des termes d'un suite géométrique de premier terme et de raison égaux à \dfrac {|x|}{n+2}.


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