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Equivalent en l'infini

Posté par
Thibault1999 30-05-19 à 11:20

Bonjour,

Je viens vers vous parce qu'un exercice me donne du fil à retordre.
On considère une suite d'entiers naturels (k_n) définie pour tout entier naturel n et telle que \lim_{n\to +\infty} k_n=.
L'objectif est de donner un équivalent de ln(\begin{pmatrix}n\\k_n\end{pmatrix}) en l'infini.

Une indication me dit de donner un équivalent de ln(\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}). J'ai trouvé, en utilisant la formule de Stirling pour avoir un équivalent de n!, que cette quantité est équivalent en l'infini à 2ln(2)n.

D'après les hypothèses, on a que k_n est équivalent à n en l'infini, mais puisque gamma est réel, on ne peut pas injecter cela dans le coefficient binomial. Par ailleurs, je ne vois pas comment utiliser l'indication (notamment à cause du facteur 2 qui apparaît dans le coefficient binomial).

Je ne sais pas si gamma désigne la constante d'Euler. Si ça n'est pas le cas, on peut déjà dire que gamma doit être inférieur à 1, sinon le coefficient binomial est nul à partir d'un certain rang (k_n>n à partir d'un rang N) et ln(k_n parmi n) n'est alors pas défini. Si gamma désigne la constante d'Euler, le problème ne se pose pas.

Merci  d'avance pour votre aide.

Posté par
luzakre : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 11:50

Bonjour !
Une suite d'entiers convergente c'est une suite stationnaire et la limite est un entier !

Posté par
Thibault1999re : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 11:53

Désolé, erreur de recopie de l'énoncé, c'est k_n/n qui tend vers gamma.

Posté par
jarod128re : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 16:57

Bonjour, l'équivalent de Wallis donne n parmi 2n équivalent à 4^n/√(n.pi)
Désolé pour la syntaxe j'écris depuis un smartphone.

Posté par
Thibault1999re : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 17:06

C'est effectivement ce que j'ai trouvé en utilisant la formule de Stirling (la formule de Wallis n'est pas au programme de ma filière). C'est surtout pour trouver l'équivalent de ln(k_n parmi n) que j'ai besoin d'aide. Merci d'avance

Posté par
lionel52re : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 17:19

Tu peux donner un premier équivalent de kn parmi n avec sterling en montrant déjà que

kn et n-kn tendent vers linfini.

Ecris ce que tu as trouvé

Posté par
Jezebethre : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 18:02

Bonjour, joli problème. Je pense effectivement que gamma désigne la constante d'Euler-Mascheroni (sinon problème de définition de la suite). Pas trop d'idées non plus pour utiliser l'indication ; peut-être faut-il utiliser

\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix}.

Je ne sais pas si ça t'inspire.

Posté par
Jezebethre : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 18:04

Si c'est bien la constante d'Euler-Mascheroni elle est étroitement reliée au log, aussi... à voir...

Posté par
Thibault1999re : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 18:11

lionel52
En l'infini, on a k_n équivalent à n. donc k_n tend vers l'infini.
De plus en l'infini : n-k_n = n-n.+o(1)=n(1-) + o(1) donc si gamma désigne la constante d'euler, n-k_n tend effectivement vers l'infini.

D'après la formule de Stirling, on a après simplification :
\begin{pmatrix}n\\k_n\end{pmatrix}=\frac{n^{n+1/2}}{k_n^{k_n+1/2}.(n-k_n)^{n-k_n+1/2}.\sqrt{2.\pi}} + o(1)= \frac{n^{k_n}}{k_n^{k_n+1/2}.(1-\gamma).\sqrt{2\pi}} + o(1)=\frac{1}{\gamma^{k_n}.\sqrt{k_n}.(1-\gamma).\sqrt{2\pi}} +o(1)

Dans ce cas, un équivalent de la quantité considérée serait  -n..ln() ?

Jezebeth Effectivement j'avais pensé en voyant l'indication à la somme des carrés des coefficients binomiaux, mais je n'ai pas vraiment vu le lien avec l'exercice. Pour le moment, je suis arrivé à ce que j'ai écrit au dessus.

Posté par
Jezebethre : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 18:20

La troisième égalité m'est suspecte : comment simplifies-tu k_n^{k_n} ?

Posté par
Thibault1999re : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 18:25

En l'infini on a k_n/n équivalent à gamma

Posté par
Jezebethre : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 18:28

Donc \left( \frac{n}{k_n}\right)^{k_n} \sim \frac{1}{\gamma ^{k_n}} ?

Attention, k_n dépend de n.

Posté par
Thibault1999re : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 18:34

Effectivement je suis allé un peu vite ! Donc j'en suis arrivé à :
\begin{pmatrix}n\\k_n\end{pmatrix}= \frac{n^{k_n}}{k_n^{k_n+1/2}.(1-\gamma).\sqrt{2\pi}} + o(1)

Posté par
jandri Correcteurre : Equivalent en l'infini 30-05-19 à 22:59

Bonjour,
dans cet exercice \gamma désigne un réel quelconque dans ]0,1[.

L'indication montre qu'on cherche un équivalent proportionnel à n .
Il suffit donc d'utiliser une forme simplifiée de la formule de Stirling : \ln(n!)=n\ln(n)-n+o(n).

On l'applique à \ln(n!)\;,\;\ln((k_n)!) \;,\; \ln((n-k_n)!).

Après simplification on obtient : \ln({n\choose k_n})=-n\ln(1-\frac{k_n}n)+k_n\ln(\frac n{k_n}-1)+o(n), d'où l'équivalent cherché.

On remarque que l'équivalent est inchangé si on change \gamma en 1-\gamma : l'explication est très simple!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equivalent en l'infini 31-05-19 à 20:19

Bravo jandri !


autrement dit : pour toute suite d'entiers \large (k_n) telle que \Large \boxed{\lim\frac{k_n}{n}=\gamma\in]0,1[} on a \Large \boxed{\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{C_n^{k_n}}=\frac{1}{\gamma^{\gamma}(1-\gamma)^{1-\gamma}}}

Posté par
Thibault1999re : Equivalent en l'infini 31-05-19 à 20:42

Merci beaucoup pour votre aide ! Bonne soirée

Posté par
jandri Correcteurre : Equivalent en l'infini 31-05-19 à 21:15

Merci Elhor, c'est bien cela qu'on obtient.


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