Niveau exercices

Équivalent suites

Posté par
FerreSucre 06-06-23 à 18:57

Hello ! On m'a donné un petit exercice mais je n'ai aucune piste concluante pour l'aborder..

Trouver un équivalent de $U_n \in \R^{\N}$ lorsque $n \to +\infty$ sachant que la suite vérifie :

$\lim_{n\to +\infty} U_n\times \sum_{k=0}^{n}U_k^2 = 1$

Ma première idée était de sortir le terme en $U_n$ de la somme. Et de poser $V_n = U_n \times \sum_{k=0}^{n}U_k^2$

$\lim_{n\to +\infty} U_n^3+U_n\times \sum_{k=0}^{n-1}U_k^2 = 1$

Ducoup :

$\lim_{n\to +\infty} V_n = \lim_{n\to +\infty} U_n^3 + \dfrac{U_n}{U_{n-1}} \times V_{n-1} = 1$

Mais je ne sais pas quoi en faire, deuxième idée sinon :

$V_n = U_n^3 + U_n \times b_n$

$\lim V_n \to 1$ . Alors $U_n$ est solution d'un polynôme du troisième degré qui possède une unique solution car b > 0.
$U_n$ mais bon vu la tête de la solution sur wolfram ça donne pas envie haha

Des idées ? ^^

Posté par re : Équivalent suites 06-06-23 à 19:30

Bonjour,

j'ai posé $S_n=\sum_{k=0}^nu_k^2$ d'où $(S_n-S_{n-1})S_n^2\to1$ puis $S_n^3-S_{n-1}^3\to3$ .

On en déduit un équivalent de $S_n$ puis de $u_n$ .

Posté par re : Équivalent suites 06-06-23 à 21:10

Merci pour ta réponse je vais essayer ça bientôt pour voir ce que ça donne !

Posté par re : Équivalent suites 06-06-23 à 23:40

Alors pas de soucis pour montrer vos limites mais pour conclure plus complexe !

$S_n^3-S_{n-1}^3 \to 3$

Quand $n \to +\infty$ , ducoup je me suis dis quand on est au voisinage de l'infini alors :

$S_n^3 = S_{n-1}^3 + 3$

Donc $S_n^3 = S_o^3 + (n-1)*3$
Au voisinage de l'infini donc $S_n^3 \sim 3n$ alors $S_n \sim (3n)^{1/3}$ donc $U_n \sim \dfrac{1}{(3n)^{1/3}}$

Ceci dit je ne crois pas que ça ait l'air correct à mon avis ! Je n'ai pas l'habitude de travailler avec les équivalents surtout non explicite donc.. je découvre

Posté par re : Équivalent suites 07-06-23 à 12:12

L'égalité $S_n^3 = S_{n-1}^3 + 3$ est évidemment fausse, cela ne veut rien dire une égalité "au voisinage de l'infini".

Ce que l'on a le droit de faire c'est une sommation des équivalents.

Puisque $S_n^3 - S_{n-1}^3 \sim 3$ alors par sommation $S_n^3 - S_0^3 \sim 3n$ d'où l'équivalent de $S_n$ .

Posté par re : Équivalent suites 07-06-23 à 16:18

Oui ce n'est pas une égalité en effet, j'aurais dû mettre un équivalent mais justement d'où ma question :

$S_n^3 \sim S_{n-1}^3 + 3$ donc $S_n^3 \sim S_o^3 + 3n \sim 3n$

Suffit et est correct comme justification ?

Posté par re : Équivalent suites 07-06-23 à 18:38

Non, ce n'est pas juste. Si tu écris $S_n^3 \sim S_{n-1}^3 + 3$ tu peux laisser tomber le $3$ puisque $S_n$ tend vers l'infini et cela donne $S_n\sim S_{n-1}$ qui n'avance à rien.

Il faut utiliser ici le théorème de sommation des équivalents pour deux suites positives :

si $u_n\sim v_n$ et si $(\sum v_n)$ diverge alors $\sum_{k=0}^n u_k\sim\sum _{k=0}^n v_k$ .

Dans le cas particulier de cet exercice comme $v_n=3$ on peut aussi utiliser le théorème de Cesàro.

Posté par re : Équivalent suites 07-06-23 à 19:08

Ah d'accord ! Je ne savais pas, je n'ai eu aucun cours sur les équivalents en licence on fait tout au feeling malheureusement donc… je manque de rigueur sur cette partie des maths… mais merci pour ton éclaircissement !

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