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équivalents de fonctions sans utiliser de DL
Bonjour, j'aurais deux questions
1 / je pense ne pas être au clair avec les équivalents, pouvez-vous m'aider car j'aimerais trouver un équivalent de ln(sinx) au voisinage de 0 sans utiliser de développement limité.
J'ai une ébauche mais je ne la trouve pas rigoureuse :
ln(sinx) = ln(x
sinx/x) = ln(sin(x)/x)+lnx
Or sinx/x équivalent à 1 en 0 donc lim(x->0)ln(sinx/x) = ln1 = 0 car ln continue en 1 (A)
Donc lim(x->0+) de ln(sinx) = lim(x->0+) ln(sinx/x) + lim(x->0+)lnx = lim(x->0+)lnx d'après (A)
d'où ln(sinx) équivalent à lnx au voisinage de 0.
Voilà mon raisonnement mais je ne trouve pas les 2 dernières lignes rigoureuses car j'additionne des limites sans avoir prouvé leur existence mais je ne vois pas comment faire autrement. Des idées ?
Merci de m'aider.
2 / Question très bête mais je suis à la rue sur les équivalents pour l'instant : pourquoi en 0, 2sin2(x/2) est équivalent à x2/2 ?
sin x équivalent à x ok
2sin x2 équivalent à 2x2 ok par multiplication des équivalents.
mais puisqu'on ne peut pas composer, pourquoi 2sin2x/2 est équivalent à 2x2/2
ça voudrait dire que sin(x/2) est équivalent à x/2 en 0 mais je ne vois pas pourquoi puisqu'on ne peut pas composer.
Bref, si quelqu'un peut m'éclairer je lui en serais reconnaissant.
Merci
Si tu veux montrer que est équivalent à
en 0, étudie le rapport
et vérifie que sa limite pour
tendant vers
est bien
. Pour ce faire, tu peux réutiliser ce que tu as fait, mais en le plaçant cette fois-ci dans un cadre correct.
Bonjour !
"on ne peut pas composer " ? même si c'est avec l'identité ?
Si tu as tu peux remplacer
par une fonction telle que
et écrire
Bonjour
on ne peut pas composer dans un sens, mais on peut dans l'autre
on peut passer de f(u)~g(u) lorsque u tend vers a à f(h(t))~g(h(t)) lorsque t tend vers b, pour peu que lim(h(t)) = a lorsque t tend vers b
ce qu'on n'a pas le droit de faire, c'est de passer à h(f(u))~h(g(u)) lorsque u tend vers a
(l'exemple classique : 1+x²~x² en l'infini
mais e1+x² = eex² n'est pas équivalent à ex² en l'infini, puisque le quotient des deux tend vers e....)
ok je vous remercie de vos explications,
lafol, ton explication m'a vraiment parlée. Je dois retenir cette règle car vraiment je trouve ça subtil.
effectivement Robot, pour la limite je pose :
lim(x->0+) ln(sinx)/lnx = lim(x->0+)ln(xsinx/x)/lnx = lim(x->0+)(ln(sinx/x)+lnx)/lnx
ce qui donne : lim(x->0+)1+ln(sinx/x)/lnx = 1 + lim(x->0+)ln(sinx/x)lim(x->0+)1/lnx = 1+00
= 1 (ouf)
Je ne l'ai jamais vu en cours mais, peut-on utiliser l'Hopital ? car si on pose f/g = ln(sinx)/lnx, on obtient que f'/g' = (1/sinx)cosx/(1/x) = x/tanx en zéro c'est indéterminé mais :
f''/g'' = 1/(1+tan2x) tend vers 1 en 0
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