Bonjour.
En +, ln(1-e^-nx)~e^-nx=(e^-x)ⁿ
Par somme géométrique : (e^-x)ⁿ = 1/(1-e^-x)

As-tu essayé de montrer que 1/(1-e^-x) est un équivalent de f ?

Bonjour,

William, tu voulais surement dire

Le souci c'est que

Et je suis plus tenté de dire que la limite en + l'infini c'est 0.

Je cherche encore une bonne idée, je n'ai pas l'impression qu'utiliser le DSE de ln(1-t) nous aide.

Ah, en revanche si tu fais commencer la somme à 1, William, on a ce qui est plus intéressant.

Remarque : pour tout x>0 la somme de la série est négative donc on s'attend à ce que ses équivalents le soient aussi.

Oui merci de m'avoir corrigé gui_tou

Merci pour votre aide.
J'ai également pensé à utilisé le théorème de la double limite.
Comme il s'agit d'une étude locale ce qu'il se passe au voisinage de 0 est inutile. On peut donc se restreindre a un intervalle de la forme ]a, [. Il me semble qu'il y a bien convergence uniforme sur cet intervalle. Donc le théorème s'applique et donne une limite nulle en +.
Ce qui ne donne pas pour autant un équivalent.

C'est pour ca qu'on te propose de regarder si -exp(-x) ne serait pas justement un équivalent en +oo.

salut

on démare à 1 ....

ln(1 - e^-nx) = ln ( 1 - e^-nx)

ce produit est équivalent 1 -( e^-nx) 2 - 1/(1 - e^-x) 2 - (1 + e^-x) = 1 - e^-x

on prend le ln et un équivalent est -e^-x ...

comme trouvé précédemment ....

Il me semble qu'on peut développer ln(1-e^-nx) en série.
f est alors la somme d'une série double qui me paraît absolument convergente.
On peut alors inverser les sommations.
Le premier terme relatif au premier indice est alors somme d'une série géométrique (au signe près, et au terme constant près, celle indiquée par WilliamM007 plus haut).
Sauf erreur de ma part, gui_tou, et en supposant qu'on démarre de n=1, on trouve -e^-x/(1-e^-x) (et non pas 1+e^-x, l'erreur de signe de WilliamM007 est globale, elle ne se répercute pas au dénominateur du résultat).
Il n'est pas difficile alors de conclure pour l'équivalent.

... grillé par carpediem et son produit infini

C'est exact, le dénominateur est bien 1-e^-x, je m'excuse !

J'ai continué cherché de mon coté et j'ai trouver comme équivalent -e^-x/x.
Je suis partie de -f_n pour avoir une fonction positive décroissante et j'ai appliqué le théorème de comparaison série intégrale. en intégrant via le changement de variable u = tx on obtient une formule un peu compliqué que l'on simplifie en l'étudiant localement.

erreur de ma part je trouve -1/x par encadrement

Pour ce dernier résultat tu parles de l'équivalent en zéro, je suppose.

Bonjour,

Pour trouver un équivalent en on peut commencer par montrer que pour .
L'encadrement obtenu en sommant donne l'équivalent souhaité.

Pour trouver un équivalent en 0 on utilise la méthode de comparaison à une intégrale.
En intégrant par parties l'intégrale obtenue on en déduit que la limite en 0 de est égale à .

Merci !