Bonjour j'ai un dm de maths, et je n'arrive pas à avancer, j'ai réussi à faire seulement les deux premières questions (la 2ème je suis pas du tout sûr), merci d'avance pour votre aide
On se place dans un repère orthonormé d'origine O et d'axes (Ox), (Oy) et (Oz).
Dans ce repère, on donne les points A(-3;0;0), B(3;0;0), C(0; 3√3; 0) et D(0;√3; 2 √6) .
On note H le milieu du segment [CD] et I le milieu du segment [BC]
1. Calculer les longueurs AB et AD
On admet pour la suite que toutes les arêtes du solide ABCD ont la même longueur, c'est à dire que le tétraèdre
ABCD est un tétraèdre régulier.
On appelle p le plan de vecteur normal ⃗OH et passant par le point I.
2. Étude de la section du tétraèdre par le plan p
2.a. Démontrer que le milieu J de [BD] est le point d'intersection de la droite (BD) et du plan p.
2.b.Démontrer que le plan p et la droite (AD) sont sécantes en un point K dont les coordonnées (−1,5;0,5√3;√6).
2.c. Démontrer que les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.
2.d. Déterminer précisément la nature de la section du tétraèdre ABCD par le plan p.
j'ai calculé les coordonnées des vecteurs:
vecteur AB(6;0;0) donc AB=√(6=6
vecteur AD (3;√3;2√6) AD=√(3^2+√3^2+2√6^2)=6
le tétraèdre ABCD est régulier
pour la 2a j'ai fait:
j'ai calculé le vecteur IJ et j'ai fait le produit scalaire des vecteurs OH et IJ, et on trouve 0 donc le milieu J de [BD] est le point d'intersection de la droite (BD) et du plan p (mais je ne suis pas sûr)
et pour la 2c j'ai fait le produit scalaire des vecteurs IJ et Ik et on trouve 0, donc les droites sont perpendiculaires:
IJ (0;−√3;√6 ) JK (−3;0;0 ) IJ. JK=0×(−3)+(−√3)×0+√6×0=0
Bonsoir,
Il me semble que tu n'as pas répondu à la question 2.b.
Tu pourrais le faire en déterminant une équation cartésienne du plan P et une représentation paramétrique de la droite (AD), puis en déterminant le point d'intersection de cette droite et de ce plan ainsi définis.
je ne peux pas le faire malheureusement parce qu'on a pas fait encore ça(je parle de l'équation cartésienne)
Bonjour
je vois que cette question est restée en suspens,
oui, je pense
il suffit que tu montres que ton point K est sur AD
et ensuite tu fais la même chose qu'en 2a
oui, bien sûr
mais ne t'impatiente pas ...nous sommes en période de "fêtes"...mais quand l'élève n'abandonne pas, nous revenons toujours
j'ai calculé le milieu de [AD] et il a les mêmes coordonnées que le point K
j'ai calculé le vecteur JK, ensuite j'ai fait le produit scalaire des vecteurs OH et JK, et on trouve 0 donc le milieu K de [AD] est le point d'intersection de la droite (AD) et du plan p.
Mais la méthode que j'ai utilisé pour savoir si K est sur AD je ne sais pas si elle est bonne
ben disons que tu as eu un peu de chance, mais ce n'est pas interdit
si K est le milieu de [AD], il est évidemment situé sur (AD)
donc ça va
donc c'est bon pour cette question?
vous pouvez m'expliquer la dernière question s'il vous plait, je ne comprends pas ce qu'ils demandent.
oui, ça va
pour la dernière question : le plan P a priori coupe chaque face du tétraèdre
eh bien on te demande (avec ce que tu as fait avant) d'en déduire non seulement la "trace" de ce plan P sur chaque face du tétraèdre, mais ce que cette figure va être ....
(comme tu pourrais dire pour une sphère coupée par un plan, la nature de la section est un cercle, vois-tu ? )
j'ai une question, pour la 2a, il faut pas faire le produit scalaire avec 2 vecteurs du plan non colineaire ? ma réponse est incomplète ?
ben on te définit le plan P comme étant le plan passant par I et qui est normal au vecteur OH
puisque tu montres que vecIJ est bien orthogonal à vecOH, le point J est dans le plan P
et pour la dernière question on peut utiliser thalès, vu qu'on a un tétraèdre régulier:
donc on en déduit que JI=JK=IS=SK=3 car ce sont les milieux des arrêtes. on a vu que (IJ) et (JK) sont perpendiculaires, et on sait (IJ) et (KS) sont parallèles et égaux. Les côtés IJKS sont parallèles deux à deux et ont la même longueur donc IJKS est un carré
mon raisonnement est bon?
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