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espace à quatre dimensions

Posté par
emmesse 23-09-24 à 19:57

Bonjour,

à quoi ressemble l'équation d'un plan dans un espace à quatre dimensions, ainsi que l'équation d'un espace à trois dimensions, toujours dans un espace à quatre dimensions?
je voudrais prouver que, dans un espace à quatre dimension, il passe par un plan une infinité d'espaces à trois dimensions. Pour cela je dois vérifier que, dans un espace à quatre dimensions, deux espaces à trois dimensions se coupent en un plan

quelqu'un a une idée?

malou edit > ** profil modifié, forum modifié **

Posté par
malou Webmasterre : espace à quatre dimensions 23-09-24 à 20:08

Bonsoir

tu es sûr d'être en seconde comme le dit ton profil ? merci de le modifier s'il te plaît

Qu'est-ce que ton sujet a à voir avec les calculatrices ? pourquoi as-tu choisi de le classer ainsi ?

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 23-09-24 à 20:29

je ne suis plus à l'école

je n'ai pas trouvé de sous-forum dans "autre" qui correspond à ma question. Peut-être "logiciel"? Je ne suis pas sûr.

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 23-09-24 à 23:07

voici un petit pdf que j'ai pondu
comment ensuite croiser deux espaces à 3 dimensions pour obtenir un plan?
quelqu'un a une idée?

** Fichier supprimé **

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 23-09-24 à 23:12

j'ai oublié t pour le plan
pdf corrigé** Fichier supprimé **

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 02:00

quelqu'un a une idée?

** image supprimée ** le site comporte toutes les fonctionnalités pour écrire ces quelques lignes proprement sans pdf et sans image** merci de lire le règlement et la FAQ

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 02:10

non non non,

un système de 4 équations à 6 inconnues est déjà la représentation paramétrée d'un plan dans  un espace à 4 dimensions:
x,y,z,t,T,T'

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 02:13

il faut maintenant retrouver ces x,y,z,t

quelqu'un a une idée?

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 06:11

en calculant un peu, j'ai trouvé un système de deux équations avec 8 inconnues:
2x-3y-2z-t=5+39B+2C
9x-8y+36z-9t=268+217E-94F
cela correspond-il à un plan dans un espace à 4 dimensions?

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 07:47

chatGPT me dit que oui, cela correspond à un plan dans un espace à quatre dimensions

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 08:18

il me dit qu'il faut considérer B,C,E,F comme des constantes.
on a alors 4 inconnues, on part donc sur 4 dimensions
chaque équation réduit d'une dimension. comme il y en a deux, 4-2=2
2 dimension est un plan.
un exemple ne fait pas une démonstration, mais on peut le généraliser.
J'en déduit que dans un espace à quatre dimensions,une infinité d'espaces à 3 dimensions peuvent se couper en un plan.

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 08:29

espaces affines à 3 dimensions

Posté par
carpediemre : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 12:18

salut

emmesse @ 23-09-2024 à 19:57

je voudrais prouver que, dans un espace à quatre dimension, il passe par un plan une infinité d'espaces à trois dimensions.
c'est la même démonstration que dans l'espace : par un plan il passe une infinité de droites ...

équation d'une droite dans un plan : ax + by + c = 0
équation d'un plan dans l'espace (à trois dimensions) : ax + by + cz + d = 0
équation d'un (hyper)plan dans l'espace (à quatre dimensions) : ax + by + cz + dt + e = 0

et de façon plus générale l'équation cartésienne d'un hyperplan dans l'espace à n dimensions \R^n est \sum_1^n a_k x_k + c = 0 où les a_k et c sont des constantes

et il est "aisé" de donner l'équation d'un sous-espace de dimension n - 2 dans un espace de dimension n : il n'y a plus d'équation cartésienne mais un système de ... équations cartésiennes ou alors un système d'équations paramétriques à l'aide de vecteurs directeurs

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 12:59

@Carpediem a conclu (j'était en train de rédiger ce post)
mais je voudrais quand-même réécrire les fichiers ecrasés
Pour récapituler avec des formules LaTex:
un point M dans un espace à 4 dimensions:
M\left(x_{M},y_{M},z_{M},t_{M} \right)

un point A:
A\left(x_{0},y_{0},z_{0},t_{0} \right)

un vecteur \vec{u}:
\vec{u}\left(x_{\vec{u}},y_{\vec{u}},z_{\vec{u}},t_{\vec{u}} \right)

un vecteur \vec{v}:
\vec{v}\left(x_{\vec{v}},y_{\vec{v}},z_{\vec{v}},t_{\vec{v}} \right)

un plan affine est l'ensemble des points M tels que:
\vec{AM}=T\vec{u}+T'\vec{v}

en découle le système d'équations:
\left\lbrace\begin{matrix} x_M - x_0=x_{\vec{u}}T + x_{\vec{v}}T' \\ y_M - y_0=y_{\vec{u}}T + y_{\vec{v}}T' \\ z_M - z_0=z_{\vec{u}}T + z_{\vec{v}}T' \\ t_M - t_0=t_{\vec{u}}T + t_{\vec{v}}T' \end{matrix}\right.



\left\lbrace\begin{matrix} x_M=x_0 +Tx_{\vec{u}} +T'x_{\vec{v}}\\ y_M=y_0 +Ty_{\vec{u}} +T'y_{\vec{v}}\\ z_M=z_0 +Tz_{\vec{u}} +T'z_{\vec{v}}\\ t_M=t_0 +Tt_{\vec{u}} +T't_{\vec{v}} \end{matrix}\right.}}

On en déduit la représentation paramétrée du plan affine:
\left\lbrace\begin{matrix} x=a_0 +b_0T+c_0T' \\ y=a_1+b_1T+c_1T' \\ z=a_2 +b_2T+c_2T' \\ t=a_3+b_3T+c_3T' \end{matrix}\right.

un exemple:
\left\lbrace\begin{matrix} x=8+3A+4B+8C \\ y=3+2A-4B+C \\ z=1-3A-6B+4C \\ t=2-6A+7B-3C \end{matrix}\right.

et

\left\lbrace\begin{matrix} x=4+8D+3E+F \\ y=-2+9D-8E+5F \\ z=5+2D+9E-F \\ t=-4+8D-5E+3F \end{matrix}\right.

ce qui nous amène à:
\left\lbrace\begin{matrix} 2x-3y-2z-t=5+39B+2C\\ 9x-8y+36z-9t=268+217E-94F\\ \end{matrix}\right.
on peut poser K_0=5+39B+2C et K_1=268+217E-94F

on a donc:
\left\lbrace\begin{matrix} 2x-3y-2z-t-K_0=0\\ 9x-8y+36z-9t-K_1=0\\ \end{matrix}\right.
on a ainsi 4 inconnues. On part donc avec 4 dimensions.
À chaque équation on diminue de 1 le nombre de dimension et on a deux équations. Il reste donc 4-2=2 dimension. On donc un plan affine.
On peut généraliser cet exemple pour dire que deux espaces affine à 3 dimensions dans un espace à 4 dimensions peuvent se couper en un plan.

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 13:02

et par un plan affine, dans un espace à 4 dimension, il passe une infinité d'espaces affines à 3 dimentions

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 13:09

J'ai oublié de préciser que la représentation paramétrée d'un espace affine à  3 dimensions, selon un raisonnement similaire est:
\left\lbrace\begin{matrix} x=a_0+b_0T+c_0T'+d_0T''\\ y=a_1+b_1T+c_1T'+d_1T''\\ z=a_2+b_2T+c_2T'+d_2T''\\ t=a_3+b_3T+c_3T'+d_3T'' \end{matrix}\right.

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 13:21

Citation :
par un plan il passe une infinité de droites ...

par une droite il passe une infinité de plan(?)

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 13:25

2 plans se coupent en une droite comme 2 droites se coupent en 1 point dans un plan?

Posté par
carpediemre : espace à quatre dimensions 24-09-24 à 18:52

emmesse @ 24-09-2024 à 13:21

Citation :
par un plan il passe une infinité de droites ...

par une droite il passe une infinité de plan(?)
ben oui et une vision très simple dans l'espace est une porte que tu ouvres plus ou moins : la droite de l'axe de rotation est l'intersection du plan du mur et de ta porte plus ou ouverte

Posté par
emmessere : espace à quatre dimensions 25-09-24 à 00:47

je demande ça parce que tu as écris "par un plan il passe une infinité de droite"

carpediem @ 24-09-2024 à 12:18

par un plan il passe une infinité de droites ...

Posté par
carpediemre : espace à quatre dimensions 26-09-24 à 18:45

bon c'est un peu mal dit : un plan contient une infinité de droites

dans un espace (affine) de dimension p tout espace de dimension n p contient une infinité d'espaces de dimension m < n

si tu remplaces affine par vectoriel ce n'est plus vrai : dans R4 de base (a, b, c, d) il y a quatre sous-espaces de dimension 3 : il suffit de choisir trois vecteurs parmi les quatre de (a, b, c, d)


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