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Niveau école ingénieur
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Espace affine

Posté par
AitOuglif
22-12-21 à 20:19

Bonsoir
Je n'ai pas de problème avec la notion d'espace affine. Mais je trouve toujours étonnante cette idée « espace vectoriel dont on a oublié l'origine »(même si on suppose qu'elle soit informelle). En effet, l'espace affine \mathcal{E}permet pour moi de transporter la structure d'espace vectoriel sur les points de \mathcal{E}. Pour cela, justement on choisit un point O pour donner un sens à A+B, l'unique point C tel que \vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OC}. Par contre, si on change le point choisi, le point C obtenu n'est pas le même. Donc on travaille bien dans un espace qu'on a « vectorialisé » en un point. Donc A+B n'a pas de signification intrinsèque. Pourquoi alors dire qu'on a « oublié » l'origine. Il ne fait au contraire surtout pas l'oublier?

Posté par
carpediem
re : Espace affine 22-12-21 à 21:03

salut

il y a une définition rigoureuse des espaces vectoriels

soit E un espace affine

on définit sur E x E la relation d'équivalence R appelée relation d'équipollence suivante :

les couples (de bipoints) (A, B) et (C, D) sont équipollents si les segments [AD] et [BC] ont même milieu (ou encore ABDC est un parallélogramme)

l'ensemble des classes d'équivalence (ou d'équipollence) est l'espace vectoriel associé à E ... c'est donc l'ensemble quotient (E x E)/R

à toi de vérifier qu'on a bien une structure d'espace vectoriel ...

on étudiait cela au collège ... avant ...

Posté par
AitOuglif
re : Espace affine 22-12-21 à 21:42

Merci pour ta réponse. Mais je ne vois pas en quoi cela répond à ma question carpediem...

Posté par
verdurin
re : Espace affine 22-12-21 à 22:55

Bonsoir,
dans un espace affine A+B n'a pas de sens.
Par contre A-B en a un et désigne un élément de l'espace vectoriel sous-jacent.

Posté par
AitOuglif
re : Espace affine 22-12-21 à 23:09

Merci bien verdurin. Mais c'est en substance ce que je dis. Mais alors, c'est quoi cette histoire de « espace vectoriel dont on a oublié l'origine », puisque dès lors que l'on identifie l'espace à un espace vectoriel, l'on fixe de facto une origine.

Posté par
Rintaro
re : Espace affine 22-12-21 à 23:42

Bonsoir,

justement, comme carpediem l'a dit, dans la définition rigoureuse d'espace vectoriel, on nécessite un élément neutre pour l'addition et c'est lui qu'on appelle l'origine. Un espace affine en tant que tel n'a pas de neutre, il n'a pas de structure vectoriel tant qu'on ne la transporte pas (donc c'est, à peu de choses près, un espace vectoriel dont on peut choisir librement l'origine d'où la phrase "blabla dont on oublie l'origine").

Tant qu'on considère l'objet en tant que tel (ensemble dont un groupe agit machin machin), il n'y a pas d'origine et il n'y a pas d'espace vectoriel, c'est tout.

Posté par
AitOuglif
re : Espace affine 23-12-21 à 10:07

Bon bref. Je laisse tomber, merci pour vos réponses. Je suis évidemment d'accord avec tout ce qui est dit...
Bonne journée à tous.

Posté par
AitOuglif
re : Espace affine 23-12-21 à 16:11

Bon, j'ai réussi à me donner une réponse .
En fait, c'est la stabilité je crois qui est fondamentale.
Pour n'importe quel point M d'un sous-espace affine engendré par n+1 points affinement indépendants(donc de dimension n), l'unique point G tel que \vec{MG}=\frac{\sum_{i=0}^{n} \alpha_i \vec{MA_i}}{\sum_{i=0}^n \alpha_i} appartient à ce sous-espace affine. Cela veut dire que dès qu'on donne du sens à \frac{\sum_{i=0}^{n} \alpha_i \vec{A_i}}{\sum_{i=0}^n \alpha_i} (en disant que c'est par exemple \frac{\sum_{i=0}^{n} \alpha_i \vec{OA_i}}{\sum_{i=0}^n \alpha_i} pour un point  O arbitraire du sous-espace affine), la somme obtenue est un point appartenant à ce sous-espace.
C'est donc le pendant affine du caractère stable d'un sous-espace vectoriel par combinaison linéaire. Et cette stabilité caractérise non seulement le sous-espace affine, mais en plus est indépendante du choix de M.



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